Ist Q kompakt? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | M = Q.
Ist Q kompakt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, falls Q (rationale Zahlen) nicht kompakt ist würde ich eine Folge angeben, für die es keine konvergente Teilfolge gibt.
Aber irgendwie fällt mir dazu im Moment nichts ein...
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Hallo WinterMensch und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> M = Q.
> Ist Q kompakt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also, falls Q (rationale Zahlen) nicht kompakt ist würde
> ich eine Folge angeben, für die es keine konvergente
> Teilfolge gibt.
> Aber irgendwie fällt mir dazu im Moment nichts ein...
Suche mal eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert ...
Da habt ihr in der VL sicher die ein oder andere kennengelernt ...
Du könntest auch alternativ mit einem anderen Argument begründen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] nicht kompakt ist.
Wie ist denn "Kompaktheit" definiert?
Gruß
schachuzipus
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Ja, also zum Beispiel ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + 1/n) ^ n = e.
Bei der Folge sind die Partialsummen ja alle rational.
Aber reicht das schon aus?
Danke für die Antwort :)
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Hiho,
> Ja, also zum Beispiel ist ja [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + 1/n) ^ n = e.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei der Folge sind die Partialsummen ja alle rational.
Was für Partialsummen? Ich seh keine Partialsummen.
Aber alle Folgenglieder sind rational, ja.
> Aber reicht das schon aus?
Das solltest du beantworten können!
Tut es das? Wenn ja, begründen, wenn nicht, warum nicht?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Frage: ist [mm] \IQ [/mm] beschränkt ?
FRED
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Hi Fred,
genau darauf wollte ich mit dem Hinweis auf eine mögliche "alternative" Begründung in meiner ersten Antwort hinaus.
Aber es kam halt keine Reaktion seitens des Fragestellers ...
Vllt. nützt dein expliziter Hinweis ja doch noch was in diese Richtung ...
Wollen wir's hoffen!
Gruß
schachuzipus
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Also unsere Definition zur Kompakt ist:
Eine Menge K [mm] \subset [/mm] E heißt kompakt, falls jede
Folge (xn) [mm] \subset [/mm] K eine Teilfolge enthält, die in K
konvergiert.
Aber da ich ja jetzt schon eine Folge gefunden habe die gegen einen irrationalen Wert konvergiert, hab ich ja eigentlich schon gezeigt, dass Q nicht kompakt ist.
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Und Q ist nicht beschränkt, deswegen ist Q auch nicht kompakt.
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Hallo nochmal,
> Also unsere Definition zur Kompakt ist:
>
> Eine Menge K [mm]\subset[/mm] E heißt kompakt, falls jede
> Folge (xn) [mm]\subset[/mm] K eine Teilfolge enthält, die in K
> konvergiert.
Jo, hier reicht sogar: kompakt = abgeschlossen und beschränkt
>
> Aber da ich ja jetzt schon eine Folge gefunden habe die
> gegen einen irrationalen Wert konvergiert, hab ich ja
> eigentlich schon gezeigt, dass Q nicht kompakt ist.
Jo!
Gruß
schachuzipus
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Ok, super, vielen Dank :)
Habe aber noch eine Frage dazu:
Was wäre denn, wenn ich jetzt zum Beispiel
[mm] \IQ \cap [/mm] [0,1]
hätte?
Also Q ist ja weder beschränkt noch abgeschlossen, aber das Intervall von 0 bis 1 ist beschränkt.
Und der Schnitt von den beiden müsste ja dann auch beschränkt sein weil der Schnitt von zwei Mengen beschränkt ist wenn eine der Mengen beschränkt ist oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, super, vielen Dank :)
>
> Habe aber noch eine Frage dazu:
>
> Was wäre denn, wenn ich jetzt zum Beispiel
>
> [mm]\IQ \cap[/mm] [0,1]
>
> hätte?
betrachte die Folge [mm] $b_n:=\frac{1}{3}*(1+1/n)^n\,.$ [/mm] (Das habe ich
natürlich auf Deiner anderen Antwort 'aufgebaut'!)
Frage: Warum gilt $e/3 [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] und warum [mm] $b_n \in \IQ \cap [/mm] [0,1]$?
> Also Q ist ja weder beschränkt noch abgeschlossen, aber
> das Intervall von 0 bis 1 ist beschränkt.
> Und der Schnitt von den beiden müsste ja dann auch
> beschränkt sein weil der Schnitt von zwei Mengen
> beschränkt ist wenn eine der Mengen beschränkt ist oder?
Ja, die Beschränktheit liefert hier keine Probleme.
P.S. Auch mit Eurer Definition sieht man leicht, dass [mm] $\IQ$ [/mm] nicht kompakt
sein kann: Die Folge [mm] $(n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $\IQ\,,$ [/mm] und
natürlich gilt $n [mm] \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Für jede Teilfolge [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(n)_{n \in \IN}$ [/mm] gilt aber
[mm] $n_k \to \infty \notin \IQ$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
P.P.S. ![[]](/images/popup.gif) Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig
und total beschränkt ist. (Siehe Wiki, klick!)
Gruß,
Marcel
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Ja, Q [mm] \cap [/mm] [0,1] bedeutet ja, dass man alle rationalen Werte im Intervall von 0 bis 1 hat.
Und bn liegt darin, weil bn für jeden Wert von n niemals größer wird als der Grenzwert e/3, der ja kleiner als 1 aber größer als neun ist (0,906..).
Also ist das ja eine Folge die keinen rationalen Grenzwert hat und deswegen nicht kmpakt ist.
Ist das richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, Q [mm]\cap[/mm] [0,1] bedeutet ja, dass man alle rationalen
> Werte im Intervall von 0 bis 1 hat.
> Und bn liegt darin, weil bn für jeden Wert von n niemals
> größer wird als der Grenzwert e/3, der ja kleiner als 1
> aber größer als neun ist (0,906..).
[mm] $e/3\,$ [/mm] ist nicht größer als 9 - Du meinst vielleicht $0,9$ ... 
Man kann eigentlich - wenn man weiß, dass [mm] $((1+1/n)^n)_n$ [/mm] monoton
wachsend gegen [mm] $e\,$ [/mm] strebt und dass [mm] $((1+1/n)^{n+1})_n$ [/mm] moton
fallend gegen [mm] $e\,$ [/mm] strebt, schnell $0 [mm] \le [/mm] e [mm] \le 3\,$ [/mm] beweisen! Natürlich
kann man auch sagen, dass man eh weiß, dass $e=2,7...$ ist - aber dann
sollte man auch sagen können, wieso man das eigentlich weiß: Man kann
ja etwa bei [mm] $e=\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/k!$ ja auch mal sowas wie eine
Restgliedabschätzung durchführen...
> Also ist das ja eine Folge die keinen rationalen Grenzwert
> hat
Warum gilt denn eigentlich $e/3 [mm] \notin \IQ$? [/mm] (Natürlich sollst Du benutzen
dürfen, dass $e [mm] \notin \IQ$ [/mm] gilt!)
> und deswegen nicht kmpakt ist.
> Ist das richtig so?
Ja, im Wesentlichen passt das.
Wenn man penibler argumentiert:
Bekanntlich gilt [mm] $(1+1/n)^n \in \IQ$ [/mm] für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] und es gilt
[mm] $(1+1/n)^n \to [/mm] e [mm] \notin \IQ\,.$
[/mm]
Du hast jetzt das obige schon erkannt: ...also folgt für [mm] $b_n:=\frac{1}{3}*(1+1/n)^n$ [/mm]
auch [mm] $b_n \in \IQ$ [/mm] und [mm] $b_n \to [/mm] e/3 [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)\,.$ [/mm]
Was jetzt noch fehlt: Warum hat denn [mm] $(b_n)_n$ [/mm] eigentlich keine Teilfolge,
die in [mm] $\IQ \cap [/mm] [0,1]$ konvergiert?
Nunja: [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist ja insbesondere eine Folge in $[0,1]$ [mm] ($=([0,1]\cap \IQ)\cup([0,1] \cap (\IR \setminus \IQ))$), [/mm]
die gegen $e/3 [mm] \in [/mm] ([0,1] [mm] \setminus \IQ)$ [/mm] konvergiert. Damit
konvergiert auch jede Teilfolge [mm] $(b_{n_k})_k$ [/mm] als Folge in $[0,1]$ gegen
$e/3 [mm] \in [/mm] ([0,1] [mm] \setminus \IQ)$:
[/mm]
Für eine jede solche gilt also
[mm] $$b_{n_k} \to [/mm] e/3 [mm] \in [/mm] ([0,1] [mm] \setminus \IQ) \;\;\;\;\text{ bei }\;\;\;\; [/mm] k [mm] \to \infty\,.$$
[/mm]
Also hat die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] - welches eine Folge in $[0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] ist,
keine Teilfolge, die in $[0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] konvergiert.
Gruß,
Marcel
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e/3 [mm] \not\in \IQ [/mm] weil [mm] \IQ [/mm] ja dargestellt wird als Bruch mit ganzzahligem Nenner und Zähler.
3 ist zwar ganzzahlig aber e nicht weil e ja auch kein Element von Q ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> e/3 [mm]\not\in \IQ[/mm] weil [mm]\IQ[/mm] ja dargestellt wird als Bruch mit
> ganzzahligem Nenner und Zähler.
mit Nenner ungleich [mm] $0\,.$ [/mm] Und Du meinst das zwar richtig, aber das, was
Du schreibst, würde besagen
[mm] $$\IQ=m/n$$
[/mm]
mit $m,n [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Das stimmt nicht, sondern
[mm] $$\IQ=\{m/n: m,n \in \IZ \text{ und }n \not=0\}\,.$$
[/mm]
In Worten: [mm] "$\IQ$ [/mm] enthält genau die Zahlen, die sich darstellen lassen..."
> 3 ist zwar ganzzahlig aber e nicht weil e ja auch kein
> Element von Q ist.
Na, machen wir das mal ganz sauber:
Angenommen, es wäre
$$e/3 [mm] \in \IQ\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $\IQ$ [/mm] (versehen mit der zugehörigen Addition und Multiplikation) ein Körper ist,
ist die Multiplikation [mm] $*\;\;=\;\;*_{|\IQ \times \IQ}$ [/mm] abgeschlossen, d.h. es gilt
[mm] $$q_1*q_2 \in \IQ \text{ für alle }q_1,q_2 \in \IQ\,.$$
[/mm]
(Anders gesagt: [mm] $*_{|\IQ \times \IQ}: \IQ \times \IQ \;\red{ \to }\;\IQ\,.$)
[/mm]
Aus $e/3 [mm] \in \IQ$ [/mm] würde wegen $3 [mm] \in \IQ$ [/mm] also [mm] $\frac{e}{3}*3 \in \IQ\,,$
[/mm]
also [mm] $\frac{e}{3}*3=e \in \IQ$ [/mm] folgen. Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also unsere Definition zur Kompakt ist:
>
> Eine Menge K [mm]\subset[/mm] E heißt kompakt, falls jede
> Folge (xn) [mm]\subset[/mm] K eine Teilfolge enthält, die in K
> konvergiert.
>
> Aber da ich ja jetzt schon eine Folge
wichtig: Diese Folge hat nur Folgenglieder mit Werten in [mm] $\IQ\,$ [/mm] - anders
gesagt: Du hast eine Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] gefunden, die gegen eine irrationale
Zahl konvergiert - und damit konvergiert auch jede Teilfolge dieser Folge
gegen die irrationale Zahl! (Warum denn eigentlich: In [mm] $\IQ$ [/mm] ist die Folge
ja gar nicht konvergent: Wie ist da eigentlich die genaue Begründung?)
> gefunden habe die
> gegen einen irrationalen Wert konvergiert, hab ich ja
> eigentlich schon gezeigt, dass Q nicht kompakt ist.
Gruß,
Marcel
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