Ist das richtig berechnet < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo
Ist [mm] e^{i}= cosi+sini=0+\bruch{\pi}{2}==1,570
[/mm]
Wie wird [mm] Z^{i} [/mm] und [mm] i^{i} [/mm] berechnet
Danke
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Hallo Christopf,
> Ist [mm]e^{i}= cosi+sini=0+\bruch{\pi}{2}==1,570[/mm]
Nein. Es gilt doch immer [mm] e^{i\cdot{}\phi}:=\cos(\phi)+i\cdot{}\sin(\phi)
[/mm]
Also ist [mm] e^{i}=e^{i*1}=\cos{1}+i*\sin{1}\approx \a{}0,5403+0,8415*i
[/mm]
> Wie wird [mm]Z^{i}[/mm] und [mm]i^{i}[/mm] berechnet
Lies Dir mal die Rechenregeln durch. In den letzten beiden Zeilen auf der Seite stehen die Regeln für Potenzen.
Probiers erst mal selbst. Ein Tipp vorab: [mm] i=e^{\bruch{\pi i}{2}}
[/mm]
Falls Du's nicht lesen kannst, klick mal auf die Formel.
Grüße
reverend
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Hallo
Zu [mm] z^{i}=>z=r\cdot{}e^{i\cdot{}\phi} [/mm]
Wie rechnet man r aus? Wir ist bekannt [mm] r=\wurzel{a^{2}+a^{2}}
[/mm]
In diesen Fall ist a und b doch null. Oder
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Hallo Christopf,
> Hallo
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> Zu [mm]z^{i}=>z=r\cdot{}e^{i\cdot{}\phi}[/mm]
>
> Wie rechnet man r aus? Wir ist bekannt
> [mm]r=\wurzel{a^{2}+a^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
für [mm] $z=a+b\cdot{}i$
[/mm]
>
> In diesen Fall ist a und b doch null. Oder
Nein, dann wäre doch $z=0$ und insbesondere [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=0$
[/mm]
Mit [mm] $\sqrt{a^2+b^2}=r$ [/mm] ist [mm] $a^2+b^2=r^2$
[/mm]
$z$ hat Länge r bedeutet, dass $z$ auf dem Kreis mit Radius r liegt.
Wenn [mm] $\left|z\right|=r$ [/mm] ist, so ist [mm] $\left|z^{i}\right|=|z|^{i}=r^{i}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Danke für deine schnelle Antwort und das du meine Aussage bestätigt hast
Leider besteht immer noch mein Problem Welchen Wert r hat
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Hi Christopf,
> Hallo
> Danke für deine schnelle Antwort und das du meine Aussage
> bestätigt hast
>
> Leider besteht immer noch mein Problem Welchen Wert r hat
Wenn du $z$ nicht gegeben hast, setze $z=a+bi$, dann ist r halt allg. [mm] $\sqrt{a^2+b^2}$
[/mm]
Eine Rückfrage noch:
ich hatte meine Antwort in der Annahme geschrieben, dass mit dem $i$ in [mm] $z^{i}$ [/mm] in deiner Aufgabenstellung nicht die imag. Einheit gemeint ist ..
Oder ist es doch so gemeint, also [mm] $z^{i}$ [/mm] mit [mm] $i^2=-1$ [/mm] ?
Dann klappt mein Ansatz nicht!
Dann solltest du dir eher die Eulersche Identität zunutze machen
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Christopf |
ich brauch da die Eulersche Identität, weil ich ja den Wert mit 3 Stellen nach den Komma berechnen.
Mein eigentliches Problem besteht darin für die Funktionen Cos(i) und Sin(i) [mm] e^{i }finde [/mm] ich das in meine Unterlagen, wie das Mit der eulerschen Identität gerechnet wird.
Für [mm] Z^{i} [/mm] find ich gar nichts und habe keine Idee wie das definiert ist
Für [mm] i^{i} [/mm] bin ich der Meinung das irgendwo mal gelesen zu
haben. Nur leider weis ich nicht mehr wo.
Laut google weis ich das [mm] i^{i}\approx [/mm] 0,0208
Frage wie kommt man halt zu diesenergebnis
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Hallo nochmal,
auf der wikipedia kannst du's nachlesen (Suchbegriff komplexe Zahlen oder so)
Für bel. komplexe Basis und Exponent [mm] ($z,w\in\IC$) [/mm] ist [mm] $z^w=\exp(w\cdot{}\ln(z))$, [/mm] wobei der komplexe Logarithmus nicht eindeutig ist - siehe ebenda und [mm] $\ln(z)$ [/mm] den Hauptwert dieses komplexen Logarithmus meint
LG
schachuzipus
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Kann mir jemand zeigen wie man die beiden rechnet.
Ich habe alles was ich an Informationen habe dazu gepostet
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Hallo Christopf,
zusätzlich zu Deinen Informationen hast Du aber noch welche von schachuzipus bekommen. Wenn Du nicht gerade in einem chinesischen Gefängnis einsitzt, solltest Du mit Deinem offenbar vorhandenen Internetzugang auf google und wikipedia zugreifen können und die Hinweise weiterverfolgen können.
Unternimm doch mal einen Versuch, er muss ja nicht gleich richtig sein.
Du hast mehr davon, wenn Du selbst die Lösung findest. Dabei helfen wir Dir aber gern. Nur Mut!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Christopf |
hallo
[mm] z^\omega [/mm] := [mm] \exp( \omega \cdot \ln [/mm] z),
Jetzt meine Frage wie wird der logarithmus berechnet. Das Problem der Logarithmus ist nicht eindeutig erklärt.
man kann 0 bis [mm] \pi [/mm] oder [mm] 2k\pi [/mm] einsetzen
Und dann das nächste Problem wie sieht z aus
Mein Fall sieht das ja so aus wenn ich das richtig verstehe [mm] z^{i} [/mm] :=e(i+ln(z)) und i=1
Ist halt nur ln(z) offen. Da drehe ich mich im Kreis
ln z = ln [r · ei(j + 2k · p)]
= ln r + ln ei(j + 2k ·p)
= ln r + i · (j + 2k · p)
Jetzt stehe ich wieder vor den Proplem dieVariablen mit werten zu füllen. Was mein Problem die ganze Zeit ist.
Deswegen immer wieder die gleichen Fragen
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Kann mir einer den Ansatz von [mm] i^{i} [/mm] zeigen
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Hallo nochmal,
sehr weit oben in diesem thread steht (fast) alles, was du brauchst!
reverend hatte geschrieben, dass du $i$ schreiben kannst als [mm] $i=e^{\frac{\pi}{2}i}$
[/mm]
Ist dir klar, wieso?
Falls nicht, wandle das um in die [mm] $r\cdot{}e^{i\varphi} [/mm] \ $-Darstellung
Alles weiter in der ![[]](/images/popup.gif) wiki:
Dort wird genau dieses Bsp. durchgekaut
LG
schachuzipus
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[mm] Z^{i}=e^i{ln(z)}=e^{1}ln(z)
[/mm]
[mm] ln(i)=\ln(\mathrm{i})=\mathrm{i}\frac{\pi}{2}+2\pi*k*\mathrm{i} [/mm]
Jetzt meine Fragen ist ln(z)=ln(i) und was ist k. Kann ich k = 0 setzen
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> [mm]Z^{i}=e^i{ln(z)}=e^{1}ln(z)[/mm]
Hallo,
das sollen wohl Potenzen sein, also so: [mm]Z^{i}=e^{i{ln(z)}}=e^{{1}ln(z)}[/mm]
Wo kommt die 1 her? was meinst Du damit?
>
> [mm]ln(i)=\ln(\mathrm{i})=\mathrm{i}\frac{\pi}{2}+2\pi*k*\mathrm{i}[/mm]
>
> Jetzt meine Fragen ist ln(z)=ln(i)
Wenn z=i ist, dann ja.
> und was ist k. Kann ich
> k = 0 setzen
Wenn Du Dich für den Hauptwert, also für den Wert im Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] interessierst, dann ja.
Gruß v. Angela
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Hallo
Ich habe keine Weiteren angaben außer das ich [mm] Z^{i}
[/mm]
Jetzt war ich halt der Meinung das das der Anfang ist.
$ [mm] Z^{i}=e^{i{ln(z)}}=e^{{1}ln(z)} [/mm] $
Die 1 habe ich für i eingesetzt
ln(z) [mm] =ln(r)+i\phi
[/mm]
Ist das richtig was ich da habe. und wie kann ich jetzt den Wert berechnen. Was wird mit k gemacht
Wie bekomme ich [mm] \phi
[/mm]
Bitte um Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Kann mir jemand helfen
Danke
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Hallo Christopf,
so langsam verstehe ich, denke ich, das Problem: Du willst Z herausbekommen.
Das geht nicht, dazu liegen ja gar nicht genügend Informationen vor. Der Aufgabensteller will von Dir nichts weiter, als dass Du herausfindest, wie man "hoch i" rechnet. Das Z bleibt Z, du darfst es aber sicher in einer der beiden üblichen Formen aufschreiben.
Es geht hier nicht um die Lösung einer Gleichung, sondern um das Aufstellen einer Rechenregel!
Dabei darfst Du nicht i=1 setzen, i ist die imaginäre Einheit und eindeutig definiert. Genausogut könntest Du [mm] 1:=\wurzel{2} [/mm] definieren. Beides ist nicht hilfreich. Sonst hättest du ein Lösungsverfahren, das vollständige Beliebigkeit voraussetzt. Man könnte dann z.B. [mm] (2x)^2=9 [/mm] lösen, indem man kurzerhand [mm] 2^2:=9 [/mm] definiert und dann mit [mm] x=\pm1 [/mm] weiterrechnet...
In der Lösung der Aufgabe wird also das Z (in einer seiner Darstellungen) allgemein erhalten bleiben müssen.
Grüße,
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Kanst du mir mindestens zeigen wie ich das lösen muss. Den Anfang
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> Kanst du mir mindestens zeigen wie ich das lösen muss. Den
> Anfang
Hallo,
kannst Du bitte präzisieren, was Du hier mit "das" meinst?
Was genau willst Du jetzt lösen?
Gruß v. Angela
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> Hallo
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> Ich habe keine Weiteren angaben außer das ich [mm]Z^{i}[/mm]
Hallo,
hast Du mich jetzt abgehängt?
Ich dachte, daß Du [mm] i^i [/mm] berechnen willst. Oder ist das nicht mehr angesagt?
> Jetzt war ich halt der Meinung das das der Anfang ist.
>
> [mm]Z^{i}=e^{i{ln(z)}}=e^{{1}ln(z)}[/mm]
Du kannst i natürlich nicht =1 setzen, weil i in dem betrachteten Zusammenhang die imaginäre Einheit ist.
Wie gesagt, ich dachte, Du wolltest [mm] i^i [/mm] berechnen.
Falls ja:
Du hast nun herausgefunden, was [mm] z^i [/mm] ist, nämlich [mm] e^{i{ln(z)}}.
[/mm]
Dann hattest Du, wenn ich mich recht entsinne, sogar schon ln(i) ausgerechnet.
Das hast Du doch nicht grundlos getan!
Wenn [mm] z^i [/mm] = [mm] e^{i{ln(z)}} [/mm] ist,
Was ist dann wohl [mm] i^i?
[/mm]
Gruß v. Angela
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[mm] i^{i}=0,278
[/mm]
[mm] ln(i)=i\bruch{\pi}{2}
[/mm]
$ [mm] z^i [/mm] $ = $ [mm] e^{i{ln(z)}} [/mm] $=???
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> [mm]i^{i}=0,278[/mm]
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> [mm]ln(i)=i\bruch{\pi}{2}[/mm]
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> [mm]z^i[/mm] = [mm]e^{i{ln(z)}} [/mm]=???
Hallo,
na also. Nun hast Du doch [mm] i^i [/mm] ausgerechnet - ich würde es keinesfalls als Dezimalzahl angeben, sondern den exakten Wert, und zur Information die Dezimalzahl dazu.
Du hast es allerdings kurios aufgeschrieben.
Der Gedankengang ist doch eher so:
Es ist z ^i[/mm] = [mm][mm] e^{i{ln(z)}} [/mm] und [mm] ln(i)=i\bruch{\pi}{2} [/mm] ==> [mm] i^i= ...\approx [/mm] 0,278
> [mm]z^i[/mm] = [mm]e^{i{ln(z)}} [/mm]=???
Was willst Du jetzt damit. Je nachdem, was Du für z einsetzt, ist das Ergebnis. (Genau wie bei [mm] (x+4)^2=x^2 [/mm] +8x+16.)
Ich möchte Dich zum wiederholten Male bitten, Deine Anfragen nicht so wortkarg zu stellen und durchgeführte Rechnung zu erläutern.
Zur Erläuterung gehören die Benennung der Fragestellung, die durchgeführten Rechnung mit Begründung, warum sie durchgeführt wurden, und am Ende ein Fazit: "Ich habe nun gezeigt, daß..."
Daß Du Dir klarmachst, was Du weshalb tust, ist nicht zuletzt für Dich sebst sehr wichtig. Sonst wird das nämlich nichts.
Gruß v. Angela
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Hallo
Der Lehrer hatte in einer alten Klausur nach den Wertals dezimalzahl gefragt für
[mm] z^{i}=??
[/mm]
Jetzt meine Frage ist die umformung richtig und wie kann man zu ein Wert kommen. Es kann doch in einer Klausur nicht jeder ein anderen Wert bekommen, weil er ein anderen Wert fürz einsetzt.
Danke
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> Hallo
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> Der Lehrer hatte in einer alten Klausur nach den Wertals
> dezimalzahl gefragt für
>
> [mm]z^{i}=??[/mm]
Hallo,
dann muß aber ein irgendein z vorgegeben sein.
Z.B. solch ein Aufgabentext: "Berechne [mm] z^i [/mm] für z=5+i "
Für z=i hast Du's ja schon durchgeführt.
> Jetzt meine Frage ist die umformung richtig und wie kann
> man zu ein Wert kommen.
Die Umformung für [mm] z^i [/mm] war richtig.
Gruß v. Angela
Es kann doch in einer Klausur nicht
> jeder ein anderen Wert bekommen, weil er ein anderen Wert
> fürz einsetzt.
>
> Danke
>
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Hallo
Zu dein Beispiel zum Verständnis
z=5+i
z=i
Habe ich z=i wirklich schon berechnet. Ich habe da jetzt gar keine Idee. Entweder stehe ich auf den Schlauch oder es ist mir entfallen. Wie muss die berechnung aussehen. Für das beispiel. Und dann wäre die nächste Frage. Wie finde ich den Übergang von z=i zu [mm] z^{i} [/mm]
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> z=i
>
> Habe ich z=i wirklich schon berechnet.
Hallo,
Du hast doch sogar die Dezimalzahl schon angegeben!
> Ich habe da jetzt
> gar keine Idee. Entweder stehe ich auf den Schlauch oder es
> ist mir entfallen. Wie muss die berechnung aussehen. Für
> das beispiel.
Mach keine Scherze. das wurde doch gemacht, und im Wiki-Link steht's auch!
Nochmal zum Mitschreiben:
Gesucht: [mm] i^i.
[/mm]
Rechnung:
Es ist für alle z [mm] \not=0
[/mm]
[mm] z^i= e^{i ln(z)}.
[/mm]
Also ist [mm] i^i=e^{i ln(i)}.
[/mm]
Bleibt die Frage, was ln(i) ist.
Es ist [mm] i=e^{i*\pi/2}
[/mm]
==> Ln(i)= [mm] {i*\pi/2}
[/mm]
Die setzt man nun in [mm] i^i=e^{i ln(i)} [/mm] ein und erhält [mm] i^i=e^{-\pi / 2}
[/mm]
Wenn Du [mm] (5+i)^i [/mm] berechnen willst, ist das ein klein wenig schwieriger, aber im Prinzip geht es genauso.
Hierfür mußt Du dann 5+i als [mm] r*e^{...} [/mm] schreiben.
Gruß v. Angela
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