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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 14.05.2013 | | Autor: | lucy.mg |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Winkel [mm] \alpha [/mm] des aufgespannnten Parallelogramm
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\3 \\-2} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\4\\3} [/mm] |
Hallo nochmal 
Wenn ich den Winkel das aufgespannten Parallelogramms berechnen will, ist dann die Formel richtig?
arcsin = [mm] \bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|} [/mm]
ich habe auch sehr oft diese Formel gesehen:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a} * \vec{b}}{|\vec{a}| * |\vec{b}|} [/mm]
In meinem Beispiel ist doch die erste Formel anzuwenden oder:
[mm] \vektor{1 \\3 \\-2} \times \vektor{-1 \\4\\3} [/mm] = [mm] \vektor{17 \\-1\\7}
[/mm]
arcsin = [mm] \bruch{|\vektor{17 \\-1\\7}|}{|\vec{\vektor{1 \\3 \\-2}}| \times|\vec{\vektor{-1 \\4\\3}}|} \approx [/mm] 0,965
Irgendwie komme ich mit den zwei Formeln durcheinander :-(
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Hallo!
Formal gehört in den Nenner ein Punkt als "Mal-Zeichen":
[mm] $\arcsin \alpha= \bruch{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u}| * |\vec{v}|} [/mm] $
Ansonsten sind beide Formeln gültig und liefern beide ein verwertbares Ergebnis.
Einen Unterschied gibt es jedoch: Wenn zwei Linien sich kreuzen, findest du vier Winkel vor, von denen je zwei gleich groß sind.
Die Version mit dem Vektorprodukt liefert dir IMMER den kleineren der beiden Winkel, er kann auch negativ sein. Das Vorzeichen gibt eine gewisse Information darüber, wie die beiden Vektoren genau zueinander stehen. Ein Vertauschen der beiden Vektoren in der Rechnung liefert dir beispielsweise ein ungekehrtes Vorzeichen.
Die Version mit dem Skalarprodukt liefert dir Winkel von 0° bis 180°, und das ist der Winkel, der zwischen den beiden "Pfeilspitzen" eingeschlossen ist.
Das heißt, meist ist das Skalarprodukt zu bevorzugen, grade auch, weil es weniger fehleranfällig ist.
Will man tatsächlich die exakte Lage des zweiten Vektors zum ersten wissen, benötigt man sogar beide Formeln!
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