Ist diese Ableitung richtig? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 13.03.2005 | | Autor: | Audience |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es geht um diese Funktion hier:
f(x) = [mm] \bruch{2}{2x-1}
[/mm]
Als Ableitung bekomme ich:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{(x-1)²}
[/mm]
raus.
Stimmt das Ergebnis oder was habe ich falsch gemacht?
Gruß,
Audience
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 13.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Audience
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Fast richtig , es müßte [mm] f'(x)=\bruch{-4}{(2x-1)^{2}}
[/mm]
Entweder du hast dich verrechnet , oder aber ......
Probier doch mal den Fehler selber zu finden!!! Wenn du trotzdem nicht weiterkommst , dann meld dich nochmal und ich schreib dir hier noch mal den ausführlichen Lösungsweg auf! OK? Oder schreib mir mal deinen Rechenweg auf und ich sag dir was du falsch gemacht hast.
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 13.03.2005 | | Autor: | Audience |
Irgendwie bin ich völlig am verzweifeln.. je mehr ich meine Rechnung überprüfe, desto falscher kommt sie mir vor. Es wäre sehr nett, wenn du deinen Rechenweg hier aufschreiben könntest.
Gruß,
Audience
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Hallo, Audience,
verzweifeln ist nicht angesagt, DU SCHAFFST ES!!!
Am besten Du gliederst Dir die Aufgabe:
Z=Zähler,
N=Nenner.
Bei Dir:
Z=2; Ableitung: Z'=0 (jede Konstante ohne x gibt abgeleitet 0)
N=(2x-1); Ableitung: N'=2
(Bemerkung: Schreib solche Terme wie hier den Nenner immer in Klammern: die schaden nix, aber helfen oft bei der Lösung!)
Nun zur Quotientenregel:
f'(x)= [mm] \bruch{Z'*N - Z*N'}{N^{2}}
[/mm]
Bei Dir also:
f'(x) = [mm] \bruch{0*(2x-1) - 2*2}{(2x-1)^{2}}
[/mm]
Fehlerquelle (aufpassen!!): 0*(2x-1) = 0 (machen viele falsch!!)
Weiter:
f'(x) = [mm] \bruch{ - 4}{(2x-1)^{2}}
[/mm]
Und noch was: MULTIPLIZIER' NIE DEN NENNER AUS!
Bei späteren Rechnungen (z.B. f''(x), f'''(x), ...) gibt das nur zusätzlichen Ärger!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 13.03.2005 | | Autor: | Audience |
Hallo,
wir dürfen die Quotientenregel in dieser Aufgabe nicht benutzen.
Die Aufgabe lautet:
Bestimme die Ableitung an der Stelle x0 mit Hilfe des Differenzenquotienten für folgende Funktion: (Exakte Schreibweise mit Hilfe des Limes verlangt)
f(x) = [mm] \bruch{2}{2x-1}
[/mm]
Außerdem hatten wir die Quotientenregel noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 13.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
Na gut, ich rechne dir die Ableitung mal, wie gewünscht, mit dem Differenzenquotienten vor:
Sei [mm]f(x) = \bruch{2}{2x-1}[/mm].
Dann gilt:
[mm]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
=\frac{\frac{2}{2x-1}-\frac{2}{2x_0-1}}{x-x_0}
=\frac{2(2x_0-1)-2(2x-1)}{(2x-1)(2x_0-1)}*\frac{1}{x-x_0}
=\frac{4x_0-2-4x+2}{(2x-1)(2x_0-1)}*\frac{1}{x-x_0}[/mm]
[mm]
=\frac{-\,4(x-x_0)}{(2x-1)(2x_0-1)}*\frac{1}{x-x_0}
=\frac{-\,4}{(2x-1)(2x_0-1)}[/mm]
Also folgt:
[m]f\,'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
=\lim_{x \to x_0}\frac{-\,4}{(2x-1)(2x_0-1)}
=\frac{-\,4}{(2x_0-1)^2}[/m]
Insgesamt also:
Für [mm] $f(x)=\frac{2}{2x-1}$ [/mm] $(x [mm] \in \IR \setminus\left\{\frac{1}{2}\right\})$ [/mm] ist die Ableitung gegeben durch:
[mm] $f\,'(x)=\frac{-\,4}{(2x-1)^2}$ [/mm] $(x [mm] \in \IR \setminus\left\{\frac{1}{2}\right\})$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 13.03.2005 | | Autor: | Audience |
Hallo,
ich hab nochmal und nochmal nachgerechnet, und jetzt kommt [mm] \bruch{-2}{(2x-1)²} [/mm] raus. Woher bekommst du denn die -4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 13.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Audience
Zwerglein hat dir doch schon die ganze Rechung aufgeschrieben. Da kann ich dir auch nicht mehr weiterhelfen.
Ich hab sonst noch eine andere Variante:
[mm] f(x)=\bruch{2}{2x-1}=2*(2x-1)^{-1}
[/mm]
Jetzt kannst du die  Kettenregel anwenden:
[mm] f'(x)=-2*(2x-1)^{-2}*2=\bruch{-4}{(2x-1)^{2}}
[/mm]
Vielleicht verstehst du diese Variante ja besser!
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 13.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Audience!
!!
Die Rechnung mittels des Differenzenquotienten (wie gewünscht!) findest du jetzt hier [mm] ($\leftarrow$ click it!).
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 13.03.2005 | | Autor: | Audience |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die Mühe die du dir gegeben hast. Ich habe jetzt meinen Fehler endlich gefunden (ich hab die 2 oben vergessen beim ausmultiplizieren). Wirklich ein tolles Forum hier!
Gruß,
Audience
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
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