Ist f eine Abbildung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 19:52 Mo 08.11.2004 | | Autor: | spaceshark |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben:
M={1,2,3,4} und N={1,2,3}
Sei f: [mm] \cal{P}(M) \to \cal{P}(N) [/mm] definiert durch f(A) = A [mm] \backslash \{4\} [/mm] für alle A Element P(M)
Frage:
Ist f eine Abbildung?
Ist f eine injektive Abbildung?
Ist f eine surjektive Abbildung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo spaceshark!
Wie wär's mal mit eigenen Ideen/Ansätzen oder konkreten Fragen?
Viele Grüße,
Marc
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Ok, bin zwar nicht weit gekommen aber ich poste mal was ich habe:
Zuerst habe ich die Potenzmenge von M und N gebildet:
P(M)= { [mm] \emptyset, [/mm] {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3,4} }
P(N)= { [mm] \emptyset, [/mm] {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }
Die 1. Frage würde ich mal mit JA beantworten.
Zwar sind so gesehen nicht alle Elemente von M in N enthalten (4), aber duch die Definition von f(A) wird ja gesagt ohne Element 4 "...\ {4}).
Stimmt das, oder wi kann man das besser formuliern (falls es stimmt)?
Weiter komm ich nicht...
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1. Frage: Ist es eine Abbildung?
Dazu ist zu überprüfen, ob jedem Element der Urbildmenge [mm] = Pow(M) [/mm] tatsächlich ein Element der Bildmenge [mm] Pow(N) [/mm] zugeordnet wird.
Betrachte dazu einmal ein Element aus [mm] Pow(M) [/mm]. Solche Elemente sehen immer so aus, dass sie Beliebig 1,2,3 und/oder 4 enthalten (oder leer sind). Jetzt entferne die 4 und du siehst, dass es Mengen sind, die nur noch 1,2 und/oder 3 enthalten (oder wieder leer sind), also in [mm]Pow(N)[/mm] liegen.
Damit ist die Abbildung wohldefiniert.
2. Frage ist sie injektiv?
Zu übeprüfen ist, ob es 2 (oder mehr) elemente aus [mm]Pow(M) [/mm] gibt, die auf das gleiche Bild abgebildet werden. Betrachte Beispielsweise [mm] \{1,4\} [/mm] und [mm] \{1\}[/mm].
3. Surjektivität.
Zu überprüfen: Gibt es zu jedem element der Bildmenge ein Urbild?
Nimm dir mal ein solches Element und füge 4 hinzu...
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