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| Aufgabe | Bestimme die Maxima der folgenden Funktion:
[mm] J(\nu) \, [/mm] = [mm] \frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}
[/mm]
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Hallo an alle!
Wenn ich das ableitete und =0 setze, bekomm ich:
[mm] \frac{h\nu}{3kT}e^{\frac{h\nu}{kT}}- e^{\frac{h\nu}{kT}}+1=0
[/mm]
Und nun steh ich da...Hab mir zwar über Iteration was durchgelesen, aber weiß immer noch nicht, wie ich das konkret anwenden kann.
Kann mir jemand helfen diesen Ausdruck zu lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 05.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo jentowncity
Die Ableitung ist richtig. Und jetzt bezeichnest du
[mm]x=\bruch{h\nu}{kT}[/mm]
und erhältst die Gleichung:
[mm]1-\bruch{x}{3}=e^{-x}[/mm]
die du mit dem TR lösen kannst.
War das die Bestätigung die du wolltest? 
Schöne Grüße
galileo
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Hallo galileo, danke für die Antwort!
Was meinst du mit TR? Taschenrechner? Wie mach ich das?
Es muss doch einen analytischen Lösungsweg geben.
Also ich verzweifel langsam an dieser Aufgabe...Das einzige, was ich gefunden habe, was man hier bestimmt anwenden kann, ist die Vorschrift nach Newton, mit der sich die Nullstelle einer Funktion immer besser annähern lässt:
[mm] x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
[/mm]
Damit kann ich aber wenig anfangen...
Ich komm einfach nicht weiter bei dieser verdammten Aufgabe...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 05.11.2006 | | Autor: | galileo |
Mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR), stellst y=1-x/3 und y=e^(-x) dar und drückst INTERSECT.
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Leider hab ich so einen Taschenrechner nicht, was mach ich dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 So 05.11.2006 | | Autor: | galileo |
Es gibt eine unschlagbare Methode, wie du mit einem normalen TR die Gleichung lösen kannst.
Zuerst mach mal eine approximative grafische Darstellung der Funktionen
y = 1-x/3 und y=e^(-x). Dann versuche durch eine stufenformige Linie, die du zwischen den beiden Grafen ziehst, den Schnittpunkt anzunähern. Durch einige wenige Linien kommst du ganz nahe am Schnitpunkt. Die enspricht den folgenden operationen am TR:
(2)
[mm] *(-1)(e^x)*(-1)+(1)=*(3)=
[/mm]
[mm] *(-1)(e^x)*(-1)+(1)=*(3)=
[/mm]
[mm] *(-1)(e^x)*(-1)+(1)=*(3)=
[/mm]
[mm] *(-1)(e^x)*(-1)+(1)=*(3)=
[/mm]
[mm] *(-1)(e^x)*(-1)+(1)=*(3)=
[/mm]
Diese Sequenz wiederholst du, bis du fast das gleiche Ergebnis bekommst.
Versuch's mal, und sag mir ob das geklappt hat?
Schöne Grüße,
galileo
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Danke für deine Tips, damit klappt es bestimmt auch.
Ich hab das gelesen, als ich fertig war. Und zwar hab ich erstmal so pi mal Daum geguckt, wo die beiden Graphen sich schneiden (mit Derive) und dann das Verfahren von Newton (ich habs endlich verstanden) angewendet:
[mm] x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
[/mm]
mit den Funktionen [mm] f(x)=1-\bruch{x}{3}-e^{-x} [/mm] und [mm] f'(x)=-\bruch{1}{3}+e^{-x} [/mm] und dem Startwert [mm] x_{0}=2,7
[/mm]
gemacht, und nach ein Paar Wiederholungen bin ich auf den Wert x=2,821439372 usw. gekommen.
Ich glaube, du wolltest mir das selbe sagen, stimmts?
Danke für deine Hilfe galileo!
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