Iterationsverfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Versieht man ein Federpendel mit einer Anfangsauslenkung und gibt ihm einen kleinen Impuls, so schwingt es auf und ab. Die Auslenkung zum Zeitpunkt t, t [mm] \ge [/mm] 0, wird angegeben durch die Funktion
[mm] f(t)=\bruch{\bruch{48sin(1,1t)}{\wurzel{t}}+40}{e^{\bruch{t}{11}}}
[/mm]
Es gibt genau einen positiven Zeitpunkt [mm] t_0, [/mm] zu dem das Pendel dieselbe Auslenkung hat wie die Anfangsauslenkung (also zum Zeitpunkt t=0). Bestimmen Sie mit einem Iterationsverfahren ihrer Wahl [mm] t_0 [/mm] auf zwei Nachkommastellen genau. |
1. Zunächst muss die Anfangsauslenkung berechnet werden (mit [mm] t\not=0):
[/mm]
[mm] f(1*10^-10)=\bruch{\bruch{48sin(1,1*1*10^-10)}{\wurzel{1*10^-10}}+40}{e^{\bruch{1*10^-10}{11}}}\approx40
[/mm]
2. Nachdem ich die Funktion geplottet habe, habe ich die Auslenkung 40 im Bereich [mm] 2,4\le [/mm] t [mm] \le2,6 [/mm] lokalisiert. Um etwas genauer zu werden, kann hierzu eine Wertetabelle aufgestellt werden:
x | y
2,4 | 44,136
2,41 | 43,831
2,42 | 43,526
2,43 | 43,221
2,44 | 42,917
2,45 | 42,613
2,46 | 42,309
2,47 | 42,006
2,48 | 41,703
2,49 | 41,401
2,50 | 41,099
2,51 | 40,797
2,52 | 40,496
2,53 | 40,196
2,54 | 39,896
Ergebnis ist damit t=2,53s
Ist das richtig?
Die Aufgabe soll benotet werden. Ich bitte deswegen nur um richtungsweisende Unterstützung. DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Versieht man ein Federpendel mit einer Anfangsauslenkung
> und gibt ihm einen kleinen Impuls, so schwingt es auf und
> ab. Die Auslenkung zum Zeitpunkt t, t [mm]\ge[/mm] 0, wird angegeben
> durch die Funktion
>
> [mm]f(t)=\bruch{\bruch{48sin(1,1t)}{\wurzel{t}}+40}{e^{\bruch{t}{11}}}[/mm]
>
> Es gibt genau einen positiven Zeitpunkt [mm]t_0,[/mm] zu dem das
> Pendel dieselbe Auslenkung hat wie die Anfangsauslenkung
> (also zum Zeitpunkt t=0). Bestimmen Sie mit einem
> Iterationsverfahren ihrer Wahl [mm]t_0[/mm] auf zwei
> Nachkommastellen genau.
>
> 1. Zunächst muss die Anfangsauslenkung berechnet werden
> (mit [mm]t\not=0):[/mm]
>
> [mm]f(1*10^-10)=\bruch{\bruch{48sin(1,1*1*10^-10)}{\wurzel{1*10^-10}}+40}{e^{\bruch{1*10^-10}{11}}}\approx40[/mm]
>
> 2. Nachdem ich die Funktion geplottet habe, habe ich die
> Auslenkung 40 im Bereich [mm]2,4\le[/mm] t [mm]\le2,6[/mm] lokalisiert. Um
> etwas genauer zu werden, kann hierzu eine Wertetabelle
> aufgestellt werden:
>
> x | y
> 2,4 | 44,136
> 2,41 | 43,831
> 2,42 | 43,526
> 2,43 | 43,221
> 2,44 | 42,917
> 2,45 | 42,613
> 2,46 | 42,309
> 2,47 | 42,006
> 2,48 | 41,703
> 2,49 | 41,401
> 2,50 | 41,099
> 2,51 | 40,797
> 2,52 | 40,496
> 2,53 | 40,196
> 2,54 | 39,896
>
> Ergebnis ist damit t=2,53s
>
> Ist das richtig?
>
> Die Aufgabe soll benotet werden. Ich bitte deswegen nur um
> [color=red]richtungsweisende Unterstützung. DANKE![/color]
>
> [color=red]Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen [/color]
> Internetseiten gestellt.
Das ist ja jetzt in dem Sinn kein Iterationsverfahren, was du da verwendet hast, du hast ein bisschen im Nebel gestochert. Insbesondere kannst du so nicht sagen, welcher Wert die bessere Nähreung ist, 2.53 oder 2.54.
Welche Verfahren habt ihr durchgenommen? Mit einem der durchgenommenen Verfahren, etwa dem Newton-Verfahren solltest du die Aufgabe angehen, sonst bezweifle ich, dass du dafür eine einigermaßen vernünftige Note bekommst.
Gruß, Diophant
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> Das ist ja jetzt in dem Sinn kein Iterationsverfahren, was du da verwendet hast, du hast ein bisschen im Nebel gestochert.
Was hat das mit herumstochern zu tun, wenn ich den Bereich grafisch lokalisiert habe und mich mittels Wertetabelle der Lösung annähre? Das ist Iteration. Welches Verfahren ich anwende, blieb laut Aufgabe mir überlassen.
> Insbesondere kannst du so nicht sagen, welcher Wert die bessere Nähreung ist, 2.53 oder 2.54.
Doch, das kann ich. Da die Aufgabenstellung eine Dezimalzahl gerundet auf zwei Zahlen fordert, ist 2,53 das bessere Ergebnis.
Deine Bedenken kann ich nicht ganz nachvollziehen, da ich innerhalb der Aufgabenstellung die Aufgabe gelöst habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 22.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Was hat das mit herumstochern zu tun, wenn ich den Bereich
> grafisch lokalisiert habe und mich mittels Wertetabelle der
> Lösung annähre? Das ist Iteration. Welches Verfahren ich
> anwende, blieb laut Aufgabe mir überlassen.
Dann erkläre dein Rechenverfahren. Beachte: Durch wiederholte
Anwendung des Verfahren erhalten wir eine sukzessive Approx-
imation der exakten Lösung!
Tipp: Programmiere dein Verfahren. Das wird deine Note auch
positiv beeinflussen.
> > Insbesondere kannst du so nicht sagen, welcher Wert die
> bessere Nähreung ist, 2.53 oder 2.54.
>
> Doch, das kann ich. Da die Aufgabenstellung eine
> Dezimalzahl gerundet auf zwei Zahlen fordert, ist 2,53 das
> bessere Ergebnis.
>
> Deine Bedenken kann ich nicht ganz nachvollziehen, da ich
> innerhalb der Aufgabenstellung die Aufgabe gelöst habe.
Seine Gedanken sind vollkommen richtig. Ergänze dein Profil,
dann kann man dir mit Sicherheit weiterhelfen.
Eine mögliche Lösung der Aufgabenstellung wäre folgende:
[mm] \bullet [/mm] Darstellung als "Nullstellenproblem".
[mm] \bullet [/mm] Analytischer Beweis genaue einer Nullstelle (in einem Intervall [mm] $I\subseteq\IQ$).
[/mm]
[mm] \bullet [/mm] Vorhandene Verfahren anwenden oder selbst entwickeln.
[mm] \bullet [/mm] Konvergenz des Verfahrens bezüglich obiges Problem.
[mm] \bullet [/mm] Anwendung in Form eines "Programms".
[mm] \bullet [/mm] Darstellung der Ergebnisse.
Gruß
DieAcht
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> Dann erkläre dein Rechenverfahren.
Wie bereits erwähnt, habe ich die Formel in mein Matheprogramm eingegeben. Rauskam folgende Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Programmiere dein Verfahren. Das wird deine Note auch positiv beeinflussen.
Du meinst mit z.B. Excel?
> Seine Gedanken sind vollkommen richtig. Ergänze dein Profil, dann kann man dir mit Sicherheit weiterhelfen.
Meinst du Profil oder Lösung?
Das Verfahren, welches ich angewendet habe, nennt sich einfaches nummerisches Verfahren, bei dem ich von einem Startwert (in dem Fall 2,4 (siehe Grafik)) anfange weitere Näherungswerte zu bestimmen. Das richtige Ergebnis wird mittels Gleichsetzung näherungsweise bestimmt: [mm] f(0)=40=f(1*10^{-10})
[/mm]
Ist das so beschriebene eindeutiger und richtig(er)?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 22.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wie bereits erwähnt, habe ich die Formel in mein Matheprogramm eingegeben.
Ja, das ist auch legitim um sich einen Überblick zu schaffen.
> > Programmiere dein Verfahren. Das wird deine Note auch positiv beeinflussen.
> Du meinst mit z.B. Excel?
Siehe unten.
> > Seine Gedanken sind vollkommen richtig. Ergänze dein
> Profil, dann kann man dir mit Sicherheit weiterhelfen.
>
> Meinst du Profil oder Lösung?
Dein eigenes Benutzerprofil, damit wir dir auch besser helfen
können. Die Angabe "Naturwiss.-Student im Grundstudium" hilft
mir dabei leider nicht genug.
> Das Verfahren, welches ich angewendet habe, nennt sich
> einfaches nummerisches Verfahren,
Das ist Quatsch.
> bei dem ich von einem
> Startwert (in dem Fall 2,4 (siehe Grafik)) anfange weitere
> Näherungswerte zu bestimmen.
Ja, dein Startwert ist auch in Ordnung, aber es fehlt komplett
die Begründung deiner Entscheidung ("siehe Grafik" ist Quark).
> Das richtige Ergebnis wird
> mittels Gleichsetzung näherungsweise bestimmt:
> [mm]f(0)=40=f(1*10^{-10})[/mm]
[mm] $f(0)\$ [/mm] ist nicht definiert. Du musst genauer arbeiten.
> Ist das so beschriebene eindeutiger und richtig(er)?
Nicht wirklich. Dein erster Schritt zur Berechnung der Anfangs-
auslenkung ist gut und danach wird es zwar nicht falsch, aber
die Aufgabenstellung wird verfehlt.
Wir betrachten
[mm] f\colon\IR_{>0}\to\IR\colon t\mapsto\bruch{\bruch{48*\sin(1,1*t)}{\wurzel{t}}+40}{e^{\bruch{t}{11}}},
[/mm]
wobei wir uns streng genommen nur für $t=0$ interessieren und
genau hier liegt das Problem, denn [mm] $f(0)\$ [/mm] ist nicht definiert,
aber wir wissen, dass es genau ein [mm] $t_0>0\$ [/mm] gibt, welches wir
anstatt [mm] $f(0)\$ [/mm] benutzen können. Vielleicht hilft es dir, wenn
ich dir sage, dass wir ein [mm] $t_0>0\$ [/mm] suchen mit [mm] f(0)=f(t_0), [/mm] aber
beachte, dass das mathematisch Quark ist, denn [mm] $f(0)\$ [/mm] ist nicht
definiert! Durch die hinreichend kleine Umgebung um Null hast
du bereits richtig [mm] $f(10^{-10})\approx [/mm] 40$ beobachtet. Nun ist also ein [mm] $t_0>0\$
[/mm]
mit [mm] $f(t_0)\approx [/mm] 40$ gesucht, wobei unser [mm] $t_0\$ [/mm] sogar genau auf zwei Nach-
kommastellen sein soll (Wie erhalten wir letztere Eigenschaft?).
Eine möglicher Ansatz wäre nun die Betrachtung von
[mm] f(t)\overset{!}{=}40\Longleftrightarrow\Phi(t):=f(t)-40=\bruch{\bruch{48*\sin(1,1*t)}{\wurzel{t}}+40}{e^{\bruch{t}{11}}}-40\overset{!}{=}0.
[/mm]
Jetzt kommt die Numerik ins Spiel. Jetzt bist du dran. Es geht
natürlich um Nichtlineare Gleichungssysteme. Welches Verfahren
(siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) kennst du zum Beispiel bereits?
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> [mm] f(t)\overset{!}{=}40\Longleftrightarrow\Phi(t):=f(t)-40=\bruch{\bruch{48\cdot{}\sin(1,1\cdot{}t)}{\wurzel{t}}+40}{e^{\bruch{t}{11}}}-40\overset{!}{=}0.
[/mm]
> Jetzt kommt die Numerik ins Spiel. Jetzt bist du dran. Es geht natürlich um Nichtlineare Gleichungssysteme. Welches Verfahren (siehe []hier) kennst du zum Beispiel bereits?
In dem Fall wende ich die Bisektionsmethode an. Die Bedingung f(a)*f(b)<0 ist durch die künstliche Erzeugung der Nullstelle nun erfüllt.
k | [mm] a^{(k)} [/mm] | [mm] b^{(k)} [/mm] | [mm] t^{(k+1)} [/mm] | [mm] f(t^{(k+1)})-40
[/mm]
0 | 2,4 | 2,6 | 2,5 | 1,1
1 | 2,5 | 2,6 | 2,55 |-0,40
2 | 2,5 | 2,55 | 2,525 | 0,35
3 | 2,525 | 2,55 | 2,5375 |-0,03
4 | 2,525 | 2,5375 | 2,53125 | 0,16
5 | 2,53125 | 2,5375 | 2,534375 | 0,06
6 | 2,53125 | 2,534375| 2,5328125 | 0,11
Auf zwei Nachkommastellen bekomme ich das nicht hin. Ich versuche es jetzt noch mit dem Newtonverfahren...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mo 22.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Das sieht eigentlich ganz gut aus, aber du musst genauer arbeiten,
dann machst du auch am Ende keinen Fehler. Mit deiner Argumentation
betrachtest du die stetige(!) Funktion [mm] \Phi [/mm] mit [mm] \Phi(a:=2.4)*\Phi(b:=2.6)<0.
[/mm]
Man kann nun beweisen, dass mit dem Startwert [mm] $a\$ [/mm] das Bisektions-
verfahren gegen eine Nullstelle konvergiert mit Konvergenzordnung 1.
Das die Funktion genau eine Nullstelle besitzt ist nach der Auf-
gabenstellung klar.
Komm also nicht durcheinander mit [mm] $f\$ [/mm] und [mm] $\Phi$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 22.09.2014 | | Autor: | mathgenius |
Danke!!!
Habe glatt vergessen, dass die Aufgabe lediglich 2 Kommastellen für [mm] t_0 [/mm] gefordert hat. Da durch die Bisektion die 2 Kommastellen sich nicht mehr ändern, kann ich 2,53 als Ergebnis nehmen, denke ich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Mo 22.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Habe glatt vergessen, dass die Aufgabe lediglich 2
> Kommastellen für [mm]t_0[/mm] gefordert hat. Da durch die Bisektion
> die 2 Kommastellen sich nicht mehr ändern, kann ich 2,53
> als Ergebnis nehmen, denke ich.
Richtig, aber wichtig war die Erkenntnis, dass damit iterativ der
Abstand zur Null immer kleiner wird. Mathematisch würde man sagen,
dass die Folgenglieder konvergieren. In diesem Fall gegen Null.
Bei deiner Tabelle sah das noch nicht so aus. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Die Aufgabe soll benotet werden. Ich bitte deswegen nur um
> [color=red]richtungsweisende Unterstützung. DANKE![/color]
Diese Bemerkung ist erstens ziemlich interpretationsfähig, zweitens ist sie - ganz gleich wie man das jetzt auffasst - unnötig. Ich würde dich bitten, auf solche Zusätze im Sinne eines gedeihlichen Miteinander besser zu verzichten. So etwas führt auf lange Sicht sonst genauso wie die oftmals vorgetragenen (kurzfristigen) Terminwünsche nur zu unnötigen Missverständnissen, trägt aber zur Klärung deiner Fragen ja in keinster Weise bei.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mo 22.09.2014 | | Autor: | mathgenius |
Dachte, ich müsste laut Forenregel darauf hinweisen.
Ich werde darauf zukünftig verzichten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo mathegenius,
> Dachte, ich müsste laut Forenregel darauf hinweisen.
Ok, dann hatte ich dich falsch verstanden, sorry.
> Ich werde darauf zukünftig verzichten.
Na ja, so wie du es eben gemeint hast solltest du es nicht unbedingt weglassen. Bei Aufgaben ist es deine Entscheidung (und dein Risiko). Bei Facharbeiten solltest du es auf jeden Fall dazusagen. Vielleicht kannst du ja an deiner Formulierung noch etwas feilen. 
Gruß, Diophant
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