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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 10.05.2009 | | Autor: | Torquato |
| Aufgabe | | Zu bestimmen ist die JNF der Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & -2 \\1 & 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm] und die Transformationsmatrix S, so daß SAS-1 = JNF. Das charakteristische Polynom der Matrix ist gleich [mm] (2-T)^2 [/mm] * [mm] (1-T)^3. [/mm] |
Mir ist das Prozedere zur Bestimmung einer JNF eigentlich soweit klar. Mein Problem besteht darin, daß sich nachher ergibt, daß 2 Jordankästchen der Größe 1 zum Eigenwert 2 auftauchen, die sich nicht mehr ändernde Dimension von ker(A - 2E) = dim [mm] ker(A-2E)^2 [/mm] aber bei mir 1 ist, und ich daher keinen 2. Basisvektor für die Transformationsmatrix auswählen kann.
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zu bestimmen ist die JNF der Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & -2 \\1 & 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
> und die Transformationsmatrix S, so daß SAS-1 = JNF. Das
> charakteristische Polynom der Matrix ist gleich [mm](2-T)^2[/mm] *
> [mm](1-T)^3.[/mm]
> Mir ist das Prozedere zur Bestimmung einer JNF eigentlich
> soweit klar. Mein Problem besteht darin, daß sich nachher
> ergibt, daß 2 Jordankästchen der Größe 1 zum Eigenwert 2
> auftauchen, die sich nicht mehr ändernde Dimension von
> ker(A - 2E) = dim [mm]ker(A-2E)^2[/mm] aber bei mir 1 ist, und ich
> daher keinen 2. Basisvektor für die Transformationsmatrix
> auswählen kann.
> Was habe ich falsch gemacht?
Hallo,
irgendwie klingt es mir so, als wäre gar nichts falsch:
Es geht ja um den Block zum Eigenwert 2.
Dem charakteristischen Polynom entnimmst Du, daß der Jordanblock zu 2 die Länge 2 hat.
Der Eigenraum zum EW 2 hat die Dimension 2, also hast Du 2 Jordankästchen zum Eigenwert 2.
(Bereits ab der 1. Potenz ändert sich [mm] Kern(A-2E)^k [/mm] nicht mehr, also hat das längste Jordankästchen die Länge 1.)
Folglich hast Du 2 Jordankästchen der Länge 1 zum Eigenwert 2, dh. Dein Jordanblock zu 2 sieht so aus: [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }.
[/mm]
In Die Jordanbasis kommen also die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 2, und dann noch die 3 Vektoren, die Du Dir für den Eigenwert 1 errechnet hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 10.05.2009 | | Autor: | Torquato |
Vielen Dank für's nachrechnen!
Dann wird es sich vermutlich um einen Rechenfehler handeln, den ich frustrierenderweise nicht finde, denn bei der Bestimmung von ker(A-2E) und [mm] ker(A-2E)^2 [/mm] erhalten ich immer nur eine Lösung der Dimension 1 mit dem Vektor (1, 1, 1, 0, 1) als Basis, und da er bei beiden Systemen identisch ist, kann ich meine Transformationsbasis nicht auffüllen. ;-(
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Hallo Torquato,
> Vielen Dank für's nachrechnen!
> Dann wird es sich vermutlich um einen Rechenfehler
> handeln, den ich frustrierenderweise nicht finde, denn bei
> der Bestimmung von ker(A-2E) und [mm]ker(A-2E)^2[/mm] erhalten ich
> immer nur eine Lösung der Dimension 1 mit dem Vektor (1, 1,
> 1, 0, 1) als Basis, und da er bei beiden Systemen identisch
> ist, kann ich meine Transformationsbasis nicht auffüllen.
> ;-(
>
Ich bekomme als Lösungsmenge von
[mm]\left(A-2E\right)*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/mm]
[mm]\overrightarrow{x}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}=r*\pmat{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+s*\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Damit sind [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\lambda=2[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 11.05.2009 | | Autor: | wolle238 |
An der Aufgabe komme ich auch grad nicht wirklich weiter. Ich bekomme diese Eigenvektoren:
[mm] $v_{1,2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] für $ [mm] \lambda [/mm] = 2$ und
[mm] $v_{3,4,5}= x_4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} [/mm] + [mm] x_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] für $ [mm] \lambda [/mm] = 1$
Hier ist mein Rechenweg: ![[]](/images/popup.gif) http://juliaw86.files.wordpress.com/2009/05/la_blatt04.pdf
Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein (Denk)Fehler ist,
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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> An der Aufgabe komme ich auch grad nicht wirklich weiter.
> Ich bekomme diese Eigenvektoren:
> [mm]v_{1,2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> für [mm]\lambda = 2[/mm] und
> [mm]v_{3,4,5}= x_4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} \red{-}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> für [mm]\lambda = 1[/mm]
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> Hier ist mein Rechenweg:
> http://juliaw86.files.wordpress.com/2009/05/la_blatt04.pdf
>
> Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein (Denk)Fehler ist,
Hallo,
Du hast das Charakteristische Polynom [mm] \chi (\lambda)=(2-\lambda)^2 (1-\lambda)^3. [/mm] Das stimmt.
Dein Minimalpolynom [mm] \mu (\lambda)=(2-\lambda) (1-\lambda)^2 [/mm] habe ich nicht nachgerechnet, ich arbeit einfach damit.
Diesen beiden Informationen kannst Du bereits entnehmen:
1. der Jordanblock zum Eigenwert 2 hat die Länge 2, der zum Eigenwert 1 die Länge 3.
2. Das längst Jordankästchen zum Eigenwert 2 hat die Länge 1, das längste zum Eigenwert 1 hat die Länge 2.
Daher enthält der Joranblock zum EW 2 2 Einerkästchen, der zum EW 1 ein Zweier- und ein Einerkästchen.
Die beiden Jordanblöcke sehen also anders aus, als die, die Du aufgeschrieben hast, Deine beiden Blöcke bestehen ja nur aus einem Kästchen - und Du setzt diese Blöcke dann auch noch falsch zur Jordanmatrix zusammen. Du hast da eine verkehrte 1 eingeschmuggelt.
Bei der Berechnung von Kern(A-2E) stimmt im Gaußverfahren die dritte Matrix nicht.
Überhaupt solltest Du so lange umformen, bis Du wirklich Zeilenstufenform hast.
Weil Du das nicht tust, geht auch die Berechnung der Eigenvektoren am Ende schief.
Gruß v. Angela
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