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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Do 16.05.2013 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | | Sei K [mm] \in Mat(6,\IC) [/mm] und [mm] P_K=X^2*(X-1)^4. [/mm] Welche Minimalpolynome können auftreten? Bestimmen Sie dazu alle möglichen JNFs von K. |
Hallo,
ich hänge hier irgendwie fest.
Also die Matrix beschreibt eine Abb. von [mm] \IC^6\to\IC^6 [/mm] was isomorph zu [mm] \IR^12 [/mm] to [mm] \IR^12 [/mm] ist also können können doch keine ungeraden Exponenten im Minimalpolynom vorkommen.
Kandidaten: [mm] m_1=X^2*(X-1)^2 [/mm] und [mm] m_2=X^2*(X-1)^4 [/mm] stimmt das soweit?
Jetzt verliere ich aber schon den Überblick. [mm] dim(Kern(K-\lambda*E)^n)=Anzahl [/mm] der Jordan-Blöcke also [mm] dim(Kern(K-E)^2)= [/mm] ? Hier alle gibt es doch schon etliche Möglichkeiten, gibt es einen einfacheren Weg?
Danke!
mfg
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> Sei K [mm]\in Mat(6,\IC)[/mm] und [mm]P_K=X^2*(X-1)^4.[/mm] Welche
> Minimalpolynome können auftreten? Bestimmen Sie dazu alle
> möglichen JNFs von K.
> Hallo,
>
> ich hänge hier irgendwie fest.
Hallo,
>
> Also die Matrix beschreibt eine Abb. von [mm]\IC^6\to\IC^6[/mm] was
Ja.
> isomorph zu [mm]\IR^12[/mm] to [mm]\IR^12[/mm]
??? Abbildungen können nicht isomorph sein.
Isomorphie ist eine Eigenschaft von Räumen.
Der [mm] \IC^6 [/mm] ist als VR über [mm] \IC [/mm] ein Vektorraum der Dimension 6, und die Matrix beschreibt eine Abbildung aus einem 6-dimensionalen Raum in einen 6-dimensionalen Raum. Sonst wär's nämlich keine [mm] 6\times [/mm] 6-Matrix.
> ist also können können doch
> keine ungeraden Exponenten im Minimalpolynom vorkommen.
Das erschließt sich mir nicht.
>
> Kandidaten: [mm]m_1=X^2*(X-1)^2[/mm] und [mm]m_2=X^2*(X-1)^4[/mm] stimmt das
> soweit?
Nein.
Es gibt mehr Möglichkeiten.
Die JNF sieht ja schonmal so aus:
[mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 & \\ & & & & & 0}[/mm]
Den Exponenten im Minimalpolynom kannst Du entnehmen, wie groß das größte Kästchen im jeweiligen Jordanblock ist.
Beispiel: [mm] m=X^2(X-1)^2
[/mm]
Das größte Kästchen im Jordanblock zu 0 hat die Lange 2,
also haben wir
[mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm],
das größte Kästchen im Jordanblock zu 1 hat die Länge 2,
also haben wir
[mm]\pmat{1 & 1 & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm].
Nun gibt's im Jordanblock zu 1 nicht mehr viele Möglichkeiten.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Fr 17.05.2013 | | Autor: | MrPan |
> > Sei K [mm]\in Mat(6,\IC)[/mm] und [mm]P_K=X^2*(X-1)^4.[/mm] Welche
> > Minimalpolynome können auftreten? Bestimmen Sie dazu
> alle
> > möglichen JNFs von K.
> > Hallo,
> >
> > ich hänge hier irgendwie fest.
>
> Hallo,
>
> >
> > Also die Matrix beschreibt eine Abb. von [mm]\IC^6\to\IC^6[/mm]
> was
>
> Ja.
>
> > isomorph zu [mm]\IR^12[/mm] to [mm]\IR^12[/mm]
>
> ??? Abbildungen können nicht isomorph sein.
> Isomorphie ist eine Eigenschaft von Räumen.
>
> Der [mm]\IC^6[/mm] ist als VR über [mm]\IC[/mm] ein Vektorraum der
> Dimension 6, und die Matrix beschreibt eine Abbildung aus
> einem 6-dimensionalen Raum in einen 6-dimensionalen Raum.
> Sonst wär's nämlich keine [mm]6\times[/mm] 6-Matrix.
Das war leider etwas unglücklich ausgedrückt aber es gilt doch das [mm] \IC^6 [/mm] isomorph zu [mm] \IR^{12} [/mm] ist? Und deshalb könne man die Abbildung auch als 12x12 Matrix darstellen? Tut wahrscheinlich hier nichts zur sache
>
> > ist also können können doch
> > keine ungeraden Exponenten im Minimalpolynom vorkommen.
>
> Das erschließt sich mir nicht.
>
> >
> > Kandidaten: [mm]m_1=X^2*(X-1)^2[/mm] und [mm]m_2=X^2*(X-1)^4[/mm] stimmt
> das
> > soweit?
>
> Nein.
> Es gibt mehr Möglichkeiten.
>
> Die JNF sieht ja schonmal so aus:
>
> [mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 & \\ & & & & & 0}[/mm]
>
>
> Den Exponenten im Minimalpolynom kannst Du entnehmen, wie
> groß das größte Kästchen im jeweiligen Jordanblock
> ist.
>
Das hilft mehr enorm weiter, habe ich noch nicht gewusst. Aber ich kann einige Kandidaten ausschließen oder? Wenn ich z. B. 4x Blöcke zum Eigenwert 1 habe und 2x Blöcke zum Eigenwert 0, erhalte ich eine Diagonalmatrix, aber das char. Polynom dieser Matrix wäre ja nur [mm] P_{A*}=(X-1)^4, [/mm] folgt daraus das der Eigenwert 0 immer nur als zweier Block auftreten kann?
Die Aufgabenstellung kling nur so, als würden einige Varianten nicht gehen.
> Beispiel: [mm]m=X^2(X-1)^2[/mm]
>
> Das größte Kästchen im Jordanblock zu 0 hat die Lange
> 2,
> also haben wir
>
> [mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm],
>
> das größte Kästchen im Jordanblock zu 1 hat die Länge
> 2,
> also haben wir
>
> [mm]\pmat{1 & 1 & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm].
>
> Nun gibt's im Jordanblock zu 1 nicht mehr viele
> Möglichkeiten.
...nämlich noch einen Block der Größe 2 oder 2 Blöcke Größe 1
> LG Angela
Vielen Dank!
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> > Der [mm]\IC^6[/mm] ist als VR über [mm]\IC[/mm] ein Vektorraum der
> > Dimension 6, und die Matrix beschreibt eine Abbildung aus
> > einem 6-dimensionalen Raum in einen 6-dimensionalen Raum.
> > Sonst wär's nämlich keine [mm]6\times[/mm] 6-Matrix.
>
> Das war leider etwas unglücklich ausgedrückt aber es gilt
> doch das [mm]\IC^6[/mm] isomorph zu [mm]\IR^{12}[/mm] ist?
Hallo,
es kommt darauf an, über welchem Körper man den VR [mm] \IC^n [/mm] betrachtet.
Als VR über [mm] \IR [/mm] hat [mm] \IC^n [/mm] die Dimension 2n, ist also isomorph zum [mm] \IR^{2n} [/mm] über [mm] \IR,
[/mm]
als VR über [mm] \IC [/mm] hat [mm] \IC^n [/mm] die Dimension n, ist also isomorph zu [mm] \IR^{n} [/mm] über [mm] \IR.
[/mm]
Wenn man nun aus dem [mm] \IR-VR \IC^6 [/mm] in den [mm] \IR-VR \IC^6 [/mm] abbildet, hat die darstellende Matrix das Format [mm] 12\times [/mm] 12.
In Deiner Aufgabe wird jedenfalls aus dem [mm] \IC-VR \IC^6 [/mm] in den [mm] \IC-VR \IC^6 [/mm] abbildet.
> > Die JNF sieht ja schonmal so aus:
> >
> > [mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 & \\ & & & & & 0}[/mm]
>
> >
> >
> > Den Exponenten im Minimalpolynom kannst Du entnehmen, wie
> > groß das größte Kästchen im jeweiligen Jordanblock
> > ist.
> >
> Aber ich kann einige Kandidaten ausschließen oder? Wenn
> ich z. B. 4x Blöcke zum Eigenwert 1 habe und 2x Blöcke
> zum Eigenwert 0, erhalte ich eine Diagonalmatrix, aber das
> char. Polynom dieser Matrix wäre ja nur [mm]P_{A*}=(X-1)^4,[/mm]
Nein.
Das charakteristische Polynom wäre
[mm] P_A=X^2(X-1)^4 [/mm] (alg. Vielfachheit=geometr. Vielfachheit),
das Minimalpolynom wäre
[mm] m_A=X(X-1),
[/mm]
beide Linearfaktoren mit dem Exponenten 1.
Die Linearfaktoren vom Minimalpolynom und charakteristischen Polynom sind exakt gleich, bloß die Exponenten im Minimalpolynom können kleiner sein. Aber nicht kleiner als 1.
> folgt daraus das der Eigenwert 0 immer nur als zweier Block
> auftreten kann?
Nein. Wenn Du im Minimalpolynom den Faktor [mm] X^1 [/mm] hast, hast Du zwei Einerblöcke für die 0,
hast Du [mm] X^2, [/mm] so gibt's einen Zweierblock.
> > Beispiel: [mm]m=X^2(X-1)^2[/mm]
> >
> > Das größte Kästchen im Jordanblock zu 0 hat die Lange
> > 2,
> > also haben wir
> >
> > [mm]\pmat{1 & & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm],
>
> >
> > das größte Kästchen im Jordanblock zu 1 hat die Länge
> > 2,
> > also haben wir
> >
> > [mm]\pmat{1 & 1 & & & & \\ & 1 & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & &0 &1 \\ & & & & & 0}[/mm].
>
> >
> > Nun gibt's im Jordanblock zu 1 nicht mehr viele
> > Möglichkeiten.
> ...nämlich noch einen Block der Größe 2 oder 2 Blöcke
> Größe 1
Genau.
Du weißt, daß es für den 0-Block zwei Möglichkeiten gibt, nämlich (1,1) und 2,
wenn Du nun alle Möglichkeiten für den 1-Block listest, kennst Du die möglichen JNFen:
Exponent von (X-1) im Minimalpolynom 4:
(4)
Exponent von (X-1) im Minimalpolynom 3:
...
Exponent von (X-1) im Minimalpolynom 2:
(2,2), (2,1,1)
Exponent von (X-1) im Minimalpolynom 1:
...
LG Angela
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