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| Aufgabe | Gegeben sei die komplexe Funktion [mm] g:\IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC [/mm] \ {0}, [mm] g(z):=\bruch{1}{z}.
[/mm]
(a) Fassen Sie g als Abbildung [mm] f:\IR^{2} [/mm] \ {0} [mm] \to \IR^{2} [/mm] \ {0} auf, und geben Sie f explizit an.
(b) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix [mm] J_{f}(x,y). [/mm] Für welche (x,y) ist sie konform? |
Hi,
also zu (a) habe ich zuers die komplexen Zaheln aufgestellt, die da lauten
z=x+i*y [mm] \Rightarrow \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+i*y} [/mm] = [mm] \bruch{x-i*y}{x^{2}+y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} [/mm] - [mm] i*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Damit wäre [mm] f_{i}(x,y) \mapsto \bruch{1}{x^{2}+y^{2}} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ -y}.
[/mm]
Wäre das so richtig?
Zu (b) habe ich bisher
[mm] J_{f}(x,y)= \pmat{ \bruch{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} \\ \bruch{-2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ {-x^{2}+y^{2}} & {-2xy} \\ {-2xy} & {-x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Zu Konformität habe bisher nur:
[mm] \vektor{-x^{2}+y^{2} \\ 2xy} \perp \vektor{-2xy \\ -x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow <\vektor{-x^{2}+y^{2} \\ 2xy} [/mm] , [mm] \vektor{-2xy \\ -x^{2}+y^{2}}> \Rightarrow 2x^{3}y-2y^{3}x-2x^{3}y-2y^{3}x [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x,y
Doch wie mach ich nur weiter?
LG
Reaper3000
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reaper3000,
> Gegeben sei die komplexe Funktion [mm]g:\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] \
> {0}, [mm]g(z):=\bruch{1}{z}.[/mm]
>
> (a) Fassen Sie g als Abbildung [mm]f:\IR^{2}[/mm] \ {0} [mm]\to \IR^{2}[/mm]
> \ {0} auf, und geben Sie f explizit an.
> (b) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix [mm]J_{f}(x,y).[/mm] Für welche
> (x,y) ist sie konform?
> Hi,
>
> also zu (a) habe ich zuers die komplexen Zaheln
> aufgestellt, die da lauten
> z=x+i*y [mm]\Rightarrow \bruch{1}{z}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x+i*y}[/mm] =
> [mm]\bruch{x-i*y}{x^{2}+y^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}[/mm] -
> [mm]i*\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> Damit wäre [mm]f_{i}(x,y) \mapsto \bruch{1}{x^{2}+y^{2}}[/mm] *
> [mm]\vektor{x \\ -y}.[/mm]
>
>
> Wäre das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu (b) habe ich bisher
>
> [mm]J_{f}(x,y)= \pmat{ \bruch{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} \\ \bruch{-2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} }[/mm]
Hier ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen:
[mm]J_{f}(x,y)= \pmat{ \bruch{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} \\ \bruch{\red{+}2xy}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} & \bruch{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{({x^{2}+y^{2}})^{2}} }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{({x^{2}+y^{2}})^{2}}[/mm] * [mm]\pmat{ {-x^{2}+y^{2}} & {-2xy} \\ {-2xy} & {-x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> Zu Konformität habe bisher nur:
>
> [mm]\vektor{-x^{2}+y^{2} \\ 2xy} \perp \vektor{-2xy \\ -x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow <\vektor{-x^{2}+y^{2} \\ 2xy}[/mm] , [mm]\vektor{-2xy \\ -x^{2}+y^{2}}> \Rightarrow 2x^{3}y-2y^{3}x-2x^{3}y-2y^{3}x[/mm]
> = 0 [mm]\forall[/mm] x,y
>
> Doch wie mach ich nur weiter?
>
> LG
>
> Reaper3000
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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Hi,
bloß es bleibt weiterhin die Frage, wie ich die Konformität zeige.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 17.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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