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| Aufgabe | Es sei [mm] x\in\IR^{n} [/mm] und [mm] A\in\IR^{m\times n}
[/mm]
a) Sei L(x):=Ax. Berechnen Sie die Jacobimatrix [mm] J_{L}(x) [/mm] unter Verwendung der Summendarstellung des Produkts.
b) Sei nun [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] symmetrisch und [mm] Q(x):=\bruch{1}{2}*x^{T}Ax. [/mm] Berechnen Sie die Jacobimatrix [mm] J_{Q}(x) [/mm] und Hessematrix [mm] H_{Q}(x) [/mm] unter Verwendung der Summendarstellung des Produkts |
zu a)
[mm] L(x)=Ax=\pmat{a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m1}&...&a_{mn}}\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}}=\vektor{\summe_{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\...\\\summe_{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}}
[/mm]
[mm] J_{L}(x)=\pmat{a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...\\...\\a_{m1}&...&&a_{mn}}
[/mm]
Ist das korrekt? Bin mir bei der Summendarstellung des Produkts nicht so sicher. Die Zeileneinträge der Jacobimatrix sind dann einfach die transpornierten Gradienten
zu b) werde ich später oder morgen meine Lösung reinstellen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 14.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]x\in\IR^{n}[/mm] und [mm]A\in\IR^{m\times n}[/mm]
>
> a) Sei L(x):=Ax. Berechnen Sie die Jacobimatrix [mm]J_{L}(x)[/mm]
> unter Verwendung der Summendarstellung des Produkts.
>
> b) Sei nun [mm]A\in\IR^{n\times n}[/mm] symmetrisch und
> [mm]Q(x):=\bruch{1}{2}*x^{T}Ax.[/mm] Berechnen Sie die Jacobimatrix
> [mm]J_{Q}(x)[/mm] und Hessematrix [mm]H_{Q}(x)[/mm] unter Verwendung der
> Summendarstellung des Produkts
> zu a)
>
> [mm]L(x)=Ax=\pmat{a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{m1}&...&a_{mn}}\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}}=\vektor{\summe_{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\...\\\summe_{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}}[/mm]
>
> [mm]J_{L}(x)=\pmat{a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...\\...\\a_{m1}&...&&a_{mn}}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja
Fred
Bin mir bei der Summendarstellung des
> Produkts nicht so sicher. Die Zeileneinträge der
> Jacobimatrix sind dann einfach die transpornierten
> Gradienten
>
> zu b) werde ich später oder morgen meine Lösung
> reinstellen
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zu b)
habe folgendes Zustandekommen:
[mm] Q(x)=\bruch{1}{2}*x^{T}Ax
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x^{T}Ax=\bruch{1}{2}\pmat{x_{1}&...&x_{n}}\pmat{a_{11}&...&a_{1n}\\...\\a_{n1}&...&a_{nn}}\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}}=\bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}a_{i1}x_{i}x_{1}+\summe_{i=1}^{n}a_{i2}x_{i}x_{2}+...+\summe_{i=1}^{n}a_{in}x_{i}x_{n})
[/mm]
stimmt das bis hier her?
allerdings komm ich dann nicht wirklich weiter
oder muss/kann ich hier eine andere Summendarstellung wählen? im Grunde ist es ja eine Hauptachsentransformation oder? allerdings hab ich es bisher nicht hinbekommen eine Darstellung der Hauptachsentransformation für eine [mm] n\times [/mm] n Matrix in Summendarstellung zu erstellen
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würde dann mit vorheriger Rechnung auf folgende Jacobimatrix kommen:
[mm] J_{Q}(x)=\pmat{\bruch{1}{2}*(2a_{11}x_{1}+\summe_{i=2}^{n}a_{i1}x_{i}+\summe_{i=2}^{n}a_{1i}x_{i}&...&\bruch{1}{2}*(2a_{nn}x_{n}+\summe_{i=1}^{n-1}a_{in}x_{i}+\summe_{i=1}^{n-1}a_{ni}x_{i}}
[/mm]
allerdings klappt das glaub ich für die anderen Elemente so nicht und ist somit falsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 22.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 22.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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