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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 23.01.2012 | | Autor: | jacob17 |
Hallo,
Würde gerne zeigen dass das Jacobi verfahren zu beliebigem Startvektor für folgende Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 } [/mm] konvergiert? Hierzu wollte ich A auf strikte diagonaldominanz prüfen d.h z.z
a_jj > [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] aji wobei i [mm] \not= [/mm] j Betrachtet man die 1. Zeile. So gilt 1 > 0 = 2+ -(2) . Jedoch gilt für die 2. Zeile bereits 1 ist nicht größer als 2=1+1. Bin mir aber sicher dass das Verfahren konvergiert doch wieso ist die Matrix dann nicht diagonaldominant?
Gruß
jacob
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Hallo jacob17,
> Hallo,
> Würde gerne zeigen dass das Jacobi verfahren zu
> beliebigem Startvektor für folgende Matrix A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 }[/mm]
> konvergiert? Hierzu wollte ich A auf strikte
> diagonaldominanz prüfen d.h z.z
> a_jj > [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] aji wobei i [mm]\not=[/mm] j Betrachtet
> man die 1. Zeile. So gilt 1 > 0 = 2+ -(2) . Jedoch gilt
> für die 2. Zeile bereits 1 ist nicht größer als 2=1+1.
> Bin mir aber sicher dass das Verfahren konvergiert doch
> wieso ist die Matrix dann nicht diagonaldominant?
Untersuche den Spektralradius der Iterations-Matrix
[mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1}-\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 }[/mm]
Ist dieser kleiner als 1, so konvergiert das Verfahren.
> Gruß
> jacob
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 23.01.2012 | | Autor: | jacob17 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Wobei dann das Einzelschrittverfahren bzw. Gaußseidel verfahren nicht konvergiert, da das Kriterium der strikten Diagonaldominanz nicht erfüllt ist?
Gruß
jacob
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Hallo jacob17,
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Wobei dann das Einzelschrittverfahren bzw. Gaußseidel
> verfahren nicht konvergiert, da das Kriterium der strikten
> Diagonaldominanz nicht erfüllt ist?
Ja, das ist richtig.
> Gruß
> jacob
Gruss
MathePower
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