Jacobson-Radikal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 03.06.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei $R$ ein Ring. Das $Jacobson-Radical$ von $R$ ist definiert als der Schnitt aller maximalen Ideale von $R$.
(i) Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $R$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ohne nilpotente Elemente.
Zeigen sie, dass das Jacobson-Radikal von $R$ gleich $(0)$ ist.
(ii) Geben Sie ein Beispiel für einen Ring, in dem das Jacobson-Radikal nicht gleich dem Nilradikal ist. |
(i) hier finde ich um erlich zu sien überhaupt keinen ansatz. ich komme einfach auf keine argumente, die mir weiterhelfen .... wäre nett wenn mir hier jemand auf die sprünge helfen könnte.
(ii) habe hier schon sachen wie [mm] \IZ/n\IZ [/mm] und polynomringe ausprobiert, hat aber nie funktionniert. wäre hier auch sehr dankbar für einen tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 03.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R[/mm] ein Ring. Das [mm]Jacobson-Radical[/mm] von [mm]R[/mm] ist definiert
> als der Schnitt aller maximalen Ideale von [mm]R[/mm].
> (i) Sei [mm]k[/mm] ein algebraisch abgeschlossener Körper, [mm]R[/mm] eine
> endlich erzeugte [mm]k[/mm]-Algebra ohne nilpotente Elemente.
> Zeigen sie, dass das Jacobson-Radikal von [mm]R[/mm] gleich [mm](0)[/mm]
> ist.
> (ii) Geben Sie ein Beispiel für einen Ring, in dem das
> Jacobson-Radikal nicht gleich dem Nilradikal ist.
>
> (i) hier finde ich um erlich zu sien überhaupt keinen
> ansatz. ich komme einfach auf keine argumente, die mir
> weiterhelfen .... wäre nett wenn mir hier jemand auf die
> sprünge helfen könnte.
Sind eure Algebren kommutativ?
Wenn ja: Zeige: alle Primideale sind maximal. Und beachte, dass das Ideal bestehend aus den nilpotenten Elementen eines kommutativen Ringes der Durchschnitt aller Primideale ist.
(Hier braucht man allerdings das alg. abgeschlossen nicht.)
> (ii) habe hier schon sachen wie [mm]\IZ/n\IZ[/mm] und polynomringe
> ausprobiert, hat aber nie funktionniert. wäre hier auch
> sehr dankbar für einen tipp.
[mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ist eine gute Wahl. Probier mal ein $n$, weches nicht quadratfrei ist.
LG Felix
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