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| Aufgabe | Ein Kaufmann verfügt am Anfang des Jahres aus einer Erbschaft über einen Betrag von 30.000€. Er legt das Geld mit 5% Zinsen an. Wie viel Jahre lang kann er jährlich vorschüssig 3700€ aus dem Guthaben entnehmen, bis das Kapital völlig aufgebraucht ist?
Lösung soll lauten: 10 Jahre |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, ich habe es so gerechnet, bei mir kommen aber hingegen nur ~ 7 Jahre.
Meine Rechnung ist folgende:
[mm] G_n= K_0 [/mm] * [mm] q^n [/mm] + r * q [mm] \bruch {q^n-1}{q-1}
[/mm]
[mm] G_n= [/mm] 30000 * [mm] 1,05^n [/mm] + 3700 * 1,05 [mm] \bruch {1,05^n -1}{0,05}
[/mm]
[mm] G_n= [/mm] 30000 * [mm] 1,05^n [/mm] + 3885 [mm] \bruch {10,5^n-1}{0,05} [/mm] | :0,05
[mm] G_n= [/mm] 30000 * [mm] 1,05^n [/mm] + 77700 * [mm] (1,05^n [/mm] -1) |Klammer auflösen
[mm] G_n= [/mm] 30000 * [mm] 1,05^n [/mm] + 77700 * [mm] 1,05^n [/mm] - 77700 | +77700
77700 = 30000 * [mm] 1,05^n [/mm] + 77700 * [mm] 1,05^n [/mm] |Binomische Formel
77700 = (30000 + 77700) * [mm] 1,05^n
[/mm]
77700= 107700 * [mm] 1,05^n [/mm] | : 107700
1,3861 = [mm] 1,05^n
[/mm]
[mm]\bruch {log 1,3861}{log 1,05}[/mm]
= 6,6918 ~ 7 Jahre
Was habe ich da falsch gemacht?
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Hallo Darkblaze,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ein Kaufmann verfügt am Anfang des Jahres aus einer
> Erbschaft über einen Betrag von 30.000€. Er legt das
> Geld mit 5% Zinsen an. Wie viel Jahre lang kann er
> jährlich vorschüssig 3700€ aus dem Guthaben entnehmen,
> bis das Kapital völlig aufgebraucht ist?
>
> Lösung soll lauten: 10 Jahre
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also, ich habe es so gerechnet, bei mir kommen aber
> hingegen nur ~ 7 Jahre.
>
> Meine Rechnung ist folgende:
>
> [mm]G_n= K_0[/mm] * [mm]q^n[/mm] + r * q [mm]\bruch {q^n-1}{q-1}[/mm]
> [mm]G_n=[/mm] 30000 *
> [mm]1,05^n[/mm] + 3700 * 1,05 [mm]\bruch {1,05^n -1}{0,05}[/mm]
> [mm]G_n=[/mm] 30000 *
> [mm]1,05^n[/mm] + 3885 [mm]\bruch {10,5^n-1}{0,05}[/mm] | :0,05
Hier musst Du diese Gleichung mit 0.05 multiplizieren:
[mm]G_n*\blue{0,05}=30000 * 1,05^n*\blue{0,05} + 3700 * 1,05 \bruch {1,05^n -1}{0,05}*\blue{0,05}[/mm]
> [mm]G_n=[/mm] 30000 * [mm]1,05^n[/mm] + 77700 * [mm](1,05^n[/mm] -1) |Klammer
> auflösen
> [mm]G_n=[/mm] 30000 * [mm]1,05^n[/mm] + 77700 * [mm]1,05^n[/mm] - 77700 | +77700
> 77700 = 30000 * [mm]1,05^n[/mm] + 77700 * [mm]1,05^n[/mm] |Binomische
> Formel
> 77700 = (30000 + 77700) * [mm]1,05^n[/mm]
> 77700= 107700 * [mm]1,05^n[/mm] | : 107700
> 1,3861 = [mm]1,05^n[/mm]
>
> [mm]\bruch {log 1,3861}{log 1,05}[/mm]
>
> = 6,6918 ~ 7 Jahre
>
>
> Was habe ich da falsch gemacht?
Du hast nur ein Teil der Gleichung mit 0,05 multipliziert.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 23.06.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
in der drittletzten Zeile über dem Resultat findet sich ein weiterer Fehler;
77700= 107700 * $ [mm] 1,05^n [/mm] $ | : 107700
die Division 77700/107700 kann nicht größer 1 sein.
Allerdings ergibt sich auch bei Umsetzung der beiden in der ersten Antwort und hier genannten Korrekturen nicht das richtige Ergebnis. Da hier eine Rentenzahlung mit völligem Kapitalverbrauch vorausgesetzt wird, muß der aufgezinste Kapitalbetrag dem der aufgezinsten Rentenzahlungen gleichgesetzt werden. Daraus folgt, daß in der ersten Zeile auf der rechten Seite die beiden Summanden nicht addiert werden dürfen, sondern zu subtrahieren sind und die linke Seite =0 ist. Das wäre dann nach n aufzulösen.
Gruß
Staffan
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