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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 23.06.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Es sei [mm] \varphi:\IR\to\IR [/mm] eine konvexe Fkt., [mm] X\in\mathcal{L}^1 [/mm] und [mm] \varphi\circ X\in \mathcal{L}^1.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \varphi(E(X))\leq E(\varphi(X)). [/mm] |
Die Idee von mir ist folgende.
[mm] \varphi:\IR\to\IR [/mm] ist konvex.
Das bedeutet, es gibt für jedes [mm] x_0\in\IR [/mm] eine Zahl [mm] c=c(x_0), [/mm] sodass [mm] \varphi(x)\geq \varphi(x_0)+c(x-x_0) [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Ist [mm]x=X, x_0=E(X)[/mm], hat man
[mm] \varphi(X)\geq \varphi(E(X))+c(X-E(X)).
[/mm]
Auf beiden Seiten kann man jetzt für [mm]X[/mm] bzw. [mm]\varphi(X)[/mm] den Erwartungswert bilden:
[mm] E(\varphi(X))\geq \varphi(E(X))+c(E(X)-E(X))=\varphi(E(X))
[/mm]
Und das ist das, was man zeigen sollte.
Ist das so okay??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Do 23.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
außer Du hast es aus der gleichen Vorlesung, solltest Du zu dieser Aussage
> Das bedeutet, es gibt für jedes $ [mm] x_0\in\IR [/mm] $ eine Zahl $ [mm] c=c(x_0), [/mm] $ sodass $ [mm] \varphi(x)\geq \varphi(x_0)+c(x-x_0) [/mm] $ für alle $ [mm] x\in\IR. [/mm] $
noch einen Satz oder so verlieren ("siehe konv. Ana Satz 5.2" oder was auch immer).
Stimmt aber alles.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Do 23.06.2011 | | Autor: | mikexx |
...für die Antwort.
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