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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 31.08.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Matrix
[mm] A=\pmat{3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3}
[/mm]
Eine Matrix S [mm] \in [/mm] GL(3;R), so dass [mm] A=S(D+N)S^{-1}, [/mm] wobei D Diagonalmatrix, N nilpotent und DN=ND ist. |
Hallo,
wir haben in der Vorlesung ein Verfahren dazu gelernt, das bei dieser Aufgabe aber nicht hinhaut.
1. Bestimme char.Polynom: [mm] P_f(T)=(T-2)^3
[/mm]
2. Wähle Basis von ker((A- [mm] \lambda I)^r) [/mm] (r=1,...,alg.Vielfachheit) für jeden Eigenwert
3. Schreibe Basisvektoren in Spalten und erhalte S
4. [mm] S^{-1}AS=A', [/mm] A'=D'+N', [mm] D=SD'S^{-1}, N=SN'S^{-1}
[/mm]
Bei dieser Aufgabe haut diese Methode nicht hin.
[mm] ker(A-2I)=span((1,-1,1)^t), ker(A-2I)^2=span((1,0,0)^t,(1,1,-1)^t). [/mm] Dann ist S nicht invertierbar. Was kann ich jetzt tun, und warum funktioniert das Verfahren, das wir ja für den allgemeinen Fall in der Vorlesung gelernt haben, hier nicht?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich dankbar,
moerni
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> Bestimmen Sie für die Matrix
> [mm]A=\pmat{3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3}[/mm]
> Eine Matrix S [mm]\in[/mm] GL(3;R), so dass [mm]A=S(D+N)S^{-1},[/mm] wobei D
> Diagonalmatrix, N nilpotent und DN=ND ist.
> Hallo,
> wir haben in der Vorlesung ein Verfahren dazu gelernt, das
> bei dieser Aufgabe aber nicht hinhaut.
> 1. Bestimme char.Polynom: [mm]P_f(T)=(T-2)^3[/mm]
> 2. Wähle Basis von ker((A- [mm]\lambda I)^r)[/mm]
> (r=1,...,alg.Vielfachheit) für jeden Eigenwert
> 3. Schreibe Basisvektoren in Spalten und erhalte S
> 4. [mm]S^{-1}AS=A',[/mm] A'=D'+N', [mm]D=SD'S^{-1}, N=SN'S^{-1}[/mm]
> Bei
> dieser Aufgabe haut diese Methode nicht hin.
> [mm]ker(A-2I)=span((1,-1,1)^t), ker(A-2I)^2=span((1,0,0)^t,(1,1,-1)^t).[/mm]
Hallo,
und wo hast Du eine schöne Basis für ker((A- [mm][mm] \lambda I)^3) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Mo 31.08.2009 | | Autor: | moerni |
>Hallo,
>und wo hast Du eine schöne Basis für ker((A- [mm] [mm] \lambda I)^3 [/mm] ?
was bedeutet denn [mm]? Es ist ja ker((A- [mm] \lambda I)^3)=V, [/mm] da A-2I nilpotent vom Index 3 ist.
Aaachso, weil ja ker(A-2I) und [mm] ker(A-2I)^2 [/mm] noch nicht eine Basis von V liefern, muss ich noch einen Vektor ergänzen. Ich nehme ker(A-2I)=span(1,-1,1), [mm] ker(A-2I)^2=span((1,0,0),(1,1,-1)), [/mm] ich ergänze (0,1,0) und schreibe in die Spalten von S: (1,-1,1),(1,0,0),(0,1,0), dann klappts und ich habe als D=2I und N=A-D. juhu.
Aber noch eine Frage zum Verständnis: Waren die Basisvektoren von ker(A-2I) und [mm] ker(A-2I)^2 [/mm] deshalb linear abhängig, weil ker(A-2I) \ subset [mm] ker(A-2I)^2? [/mm]
grüße, moerni
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> >Hallo,
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> >und wo hast Du eine schöne Basis für ker((A- [mm][mm]\lambda I)^3[/mm] ?
was bedeutet denn [mm]?
Hallo,
nichts weiter. Das ist Abfall von der Formeleingabe, guck Dir mal die Quelltexte von ein paar Posts an.
> Aaachso, weil ja ker(A-2I) und [mm]ker(A-2I)^2[/mm] noch nicht eine Basis von V liefern, muss ich noch einen Vektor ergänzen. Ich nehme ker(A-2I)=span(1,-1,1), [mm]ker(A-2I)^2=span((1,0,0),(1,1,-1)),[/mm] ich ergänze (0,1,0) und schreibe in die Spalten von S: (1,-1,1),(1,0,0),(0,1,0), dann klappts und ich habe als D=2I und N=A-D. juhu.[/mm][/mm]
Genau.
> [mm][mm] Aber noch eine Frage zum Verständnis: Waren die Basisvektoren von ker(A-2I) und [mm]ker(A-2I)^2[/mm] deshalb linear abhängig, weil ker(A-2I) \ subset [mm]ker(A-2I)^2?[/mm] [/mm][/mm]
Hm. Was Du hier nur meinst?
Vielleicht dies:
Du hattest ja festgestellt, daß die Dimension von [mm] ker(A-2I)^2=2 [/mm] ist, und da ker(A-2I) eine Teilmenge von [mm] ker(A-2I)^2 [/mm] ist, können beide Basen zusammen nicht einen Raum der Dimension 3 aufspannen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mo 31.08.2009 | | Autor: | moerni |
>Vielleicht dies:
>Du hattest ja festgestellt, daß die Dimension von [mm] ker(A-2I)^2=2 [/mm] ist, und >da ker(A-2I) eine Teilmenge von [mm] ker(A-2I)^2=2 [/mm] ist, können beide Basen >zusammen nicht einen Raum der Dimension 3 aufspannen.
Ja, das habe ich gemeint. Danke, jetzt hab ichs verstanden!
Liebe Grüße von moerni
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