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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Sa 07.08.2010 | | Autor: | Amande |
Guten Morgen!
Ich sitze gerade am Satz von Jordan-Hölder (Zwei Kompositionsreihen eines Moduls sind äquivalent) und komme an einer Stelle des Beweises einfach nicht weiter.
Mein Beweis verläuft analog zu diesem hier:
![[]](/images/popup.gif) Beweisskizze auf S.1
Wir haben zwei Kompositionsreihen eines Moduls M:
V = [mm] V_0 \supset V_1 \supset [/mm] · · · [mm] \supset V_k [/mm] = {0},
V = [mm] W_0 \supset W_1 \supset [/mm] · · · [mm] \supset W_l [/mm] = {0},
d.h. [mm] V_{i-1}/V_i [/mm] ist einfach und ebenso [mm] W_{j-i}/W_j.
[/mm]
[mm] V_i/V_{i-1} [/mm] einfach heißt, dass alle Untermoduln gleich 0 oder [mm] V_i/V_{i-1} [/mm] selbst sind.
Mir ist nicht klar, warum aus der Einfachheit von [mm] V_i/V_{i-1} [/mm] folgt, dass es genau ein j gibt so dass [mm] V_{i-1} [/mm] = Vi [mm] +(V_{i-1} \cap W_{j-1} [/mm] ) gilt.
Würd mich freuen, wenn mir jemand den Zusammenhang erklären oder mir zumindest einen Gedankenanstoß könnte :) Danke!
Grüße,
Mandy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Sa 07.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Mandy!
> Guten Morgen!
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> Ich sitze gerade am Satz von Jordan-Hölder (Zwei
> Kompositionsreihen eines Moduls sind äquivalent) und komme
> an einer Stelle des Beweises einfach nicht weiter.
>
> Mein Beweis verläuft analog zu diesem hier:
>
> Beweisskizze auf S.1
>
> Wir haben zwei Kompositionsreihen eines Moduls M:
>
> V = [mm]V_0 \supset V_1 \supset[/mm] · · · [mm]\supset V_k[/mm] = {0},
> V = [mm]W_0 \supset W_1 \supset[/mm] · · · [mm]\supset W_l[/mm] = {0},
> d.h. [mm]V_{i-1}/V_i[/mm] ist einfach und ebenso [mm]W_{j-i}/W_j.[/mm]
>
> [mm]V_i/V_{i-1}[/mm] einfach heißt, dass alle Untermoduln gleich 0
> oder [mm]V_i/V_{i-1}[/mm] selbst sind.
Hier meinst du [mm] $V_{i-1}/V_i$ [/mm] :)
Der Untermodul 0 ist uebrigens gleich [mm] $V_i/V_i$.
[/mm]
> Mir ist nicht klar, warum aus der Einfachheit von
> [mm]V_i/V_{i-1}[/mm] folgt, dass es genau ein j gibt so dass [mm]V_{i-1}[/mm]
> = Vi [mm]+(V_{i-1} \cap W_{j-1}[/mm] ) gilt.
Du schaust dir ja die absteigende Kette
[mm] $V_{i-1} [/mm] / [mm] V_i [/mm] = [mm] (V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_0)) [/mm] / [mm] V_i \supseteq (V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_1)) [/mm] / [mm] V_i \supseteq (V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_2)) [/mm] / [mm] V_i \supseteq \dots \supseteq (V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_{\ell-1})) [/mm] / [mm] V_i \supseteq (V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_\ell)) [/mm] / [mm] V_i [/mm] = [mm] V_i/V_i [/mm] = 0$.
Da [mm] $V_{i-1} [/mm] / [mm] V_i$ [/mm] einfach ist, ist jedes [mm] $(V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_j)) [/mm] / [mm] V_i$ [/mm] entweder gleich [mm] $V_{i-1} [/mm] / [mm] V_i$ [/mm] oder gleich [mm] $V_i [/mm] / [mm] V_i$. [/mm] Im ersten Fall ist [mm] $V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_j) [/mm] = [mm] V_{i-1}$, [/mm] im zweiten Fall ist [mm] $V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_j) [/mm] = [mm] V_i$.
[/mm]
So, nun zu deiner Frage. Die Aussage
> dass es genau ein j gibt so dass [mm]V_{i-1}[/mm]
> = Vi [mm]+(V_{i-1} \cap W_{j-1}[/mm] ) gilt.
ist falsch. Richtig ist:
> dass es genau ein j gibt so dass [mm]V_{i-1} = V_i + (V_{i-1} \cap W_{j-1})[/mm] und [mm]V_i = V_i + (V_{i-1} \cap W_j)[/mm] gilt.
Wenn du $j$ von 0 bis [mm] $\ell$ [/mm] laufen laesst, ist [mm] $V_i [/mm] + [mm] (V_{i-1} \cap W_j) \in \{ V_i, V_{i-1} \}$ [/mm] und wird hoechstens kleiner. Fuer $j = 0$ faengt es mit [mm] $V_i$ [/mm] an, fuer $j = [mm] \ell$ [/mm] hoert es mit [mm] $V_{i-1}$ [/mm] auf. Es muss also an genau einer Stelle den Sprung von [mm] $V_{i-1}$ [/mm] nach [mm] $V_i$ [/mm] machen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 So 08.08.2010 | | Autor: | Amande |
Hallo!
Vielen Dank für deine Hilfe - jetzt ist es klar :)
Schönen Sonntag,
Mandy
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