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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 13.03.2009 | | Autor: | qaywertz |
| Aufgabe | [mm] (E_{n} [/mm] ist die Einheitsmatrix; [mm] E'(\lambda) [/mm] ist der Hauptraum zu Lambda)
Sei L [mm] \in [/mm] End(V) und sein char. Polynom zerfalle. Sei G Basis von V so dass Mat(G,G)=A Jordannormalform hat mit Jordanblöcken [mm] J_{1}^{1},...,J_{s}^{k_{s}}, [/mm] welche jeweils ein EW [mm] \lambda_{t} [/mm] auf der Diagonalen haben und "1" auf der Nebendiagonalen.
(folgenden Nummerierung dient nur dazu, die einzelne Abschnitte des Textes zu markieren:)
(1) Sei nun für [mm] t\in [/mm] {1,...,s} mit [mm] G_{t} \subset [/mm] G die Teilmenge von G bezeichnet, die zu den Jordanblöcken [mm] J_{t}^{1},...,J_{t}^{k_{t}} [/mm] gehört.
(2) Durch Betrachtung der Potenzen [mm] (A-\lambda_{t}E_{n})^{j} [/mm] sehen wir, dass [mm] span(G_{t})=E'(\lambda_{t})
[/mm]
(3)Speziell ist die Summe der Zeilenzahlen [mm] v_{t}^{1},...,v_{t}^{k_{t}} [/mm] der Jordanblöcke [mm] J_{t}^{1},...,J_{t}^{k_{t}} [/mm] gerade die Dimension von [mm] E'(\lambda_{t}) [/mm] ist
(4) und [mm] T_{t}:= (L-\lambda_{t}id_{V}|E'(\lambda_{t}) [/mm] ist nilpotent mit Grad [mm] g=max{v_{t}^{1},...,v_{t}^{k_{t}}}. [/mm] |
Hallo!
Ich bin grad am Lernen auf ne mündliche Prüfung und sollte die obige Aussage (bzw den Beweis) verstanden haben.
Damit mir das gelingt, wäre es klasse, wenn ihr mir dazu ein paar Fragen beantworten könntet denn alleine krieg ich das nicht hin:
Das (1) gilt, sehe ich ja noch halbwegs ein - da ist [mm] G_{t} [/mm] wohl die Vereinigung der Basen der [mm] U_{i} [/mm] für die [mm] Mat(L|U_{i}) [/mm] ein Jordanblock ist.
Aber warum folge die Aussage bei (2) aus den Potenzen?
(3) wiederum scheint einzuleuchten, weil die Jordanblöcke ja gerade dim [mm] U_{t}^{i} [/mm] Zeilen haben, und [mm] E'(\lambda_{t}) [/mm] ja die direkte Summe dieser ist.
Dagegen verstehe ich (4) überhaupt nicht, weil ich eigentlich denke, dass der Grad die Summe der [mm] v_{i} [/mm] sein muss...
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | PeterB |
Ich glaube, das Hauptproblem hier ist, dass die die Indizierung etwas schlampig ist:
[mm] $G_t$ [/mm] sollten die Basisvektoren sein, die zu den Jordankästchen mit Eigenwert [mm] $\lambda_t$ [/mm] gehören.
BSP: [mm] $\lambda_t=2$ [/mm] die matrix ist:
[mm] $\pmat{ -1 & 0&0&0&0 &0\\ 0 & 2 &1&0&0&0 \\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&2&0&0 \\0&0&0&0&3&1 \\0&0&0&0&0&3 }$
[/mm]
Dann nehmen wir den 2. 3. und 4. Basisvektor.
Dann wird 2 auch klarer: [mm] $E'(\lambda_t)=ker(A-\lambda_t E_n)^j$ [/mm] für $j$ hinreichend groß. Und man kann von der Matrix ablesen, dass [mm] $G_t$ [/mm] gerade eine Basis dieses Kerns ist. (Wenn man die Potenzen der Jordankästchen ausrechnet.)
(4) Ist wieder eine explizite Rechnung mit Jordankästchen.
Versuche dir das mal mit Stift und Papier zu überlegen, Es ist wirklich nicht schwer, aber nicht so nett auf zu schreiben.
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