Jordan-Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^3, B=(b_1,b_2,b_3) [/mm] die Standartbasis von V und [mm] \varphi\in [/mm] Hom(V,V) mit
[mm] _{B\varphi B}=A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -7\\ 0 & 1 & 5}
[/mm]
(a) Berechnen Sie die Jordan-Normalform von [mm] \varphi
[/mm]
(b) Bestimmen Sie eine Basis C von V , so dass [mm] _{C\varphi C} [/mm] in Jordan-Normalform ist. |
Also erstmal Charakteristisches-Polynom:
[mm] |E\lambda -A|=\vmat{ \lambda -1 & 0 & -1 \\ -1 & \lambda & 7\\ 0 & -1 & \lambda -5}
[/mm]
[mm] =(\lambda -1)*\lambda*(\lambda -5)+0*7*0+(-1)*(-1)*(-1)-(-1)*\lambda*0-0*(-1)*(\lambda -5)-(\lambda-1)*7*(-1)
[/mm]
[mm] =(\lambda -1)*\lambda*(\lambda -5)+(-1)*(-1)-(-1)-(\lambda-1)*7*(-1)
[/mm]
[mm] =\lambda^3-6\lambda^2+5\lambda -1-(-7\lambda+7)
[/mm]
[mm] =\lambda^3-6\lambda^2+5\lambda -1+7\lambda-7
[/mm]
[mm] =\lambda^3-6\lambda^2+12\lambda [/mm] -8
[mm] \lambda_1=2, [/mm] da:
8-24+24-8=0
Polynomdivision:
[mm] (\lambda^3-6\lambda^2+12\lambda -8):(\lambda-2)=lambda^2-4\lambda [/mm] +4)
Jetzt p/q-Formel:
[mm] \lambda_{2,3}=\bruch{4}{2}\pm\wurzel{\bruch{16}{4}-4}=2\pm [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{2,3}=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Jordan-Normalform: [mm] J=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Soweit die (a)
Jetzt zur (b):
Wie ermittle ich hier die Basis?
Die Übergangsmatirx hat genau die neuen Basisvektoren als Spalten, da es ein Übergang von der Standartbasis B ist. Und J die darstellende Matrix. Aber wie erhalte ich diese neue Basis?
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mo 18.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
zur b):
Du meinst sicher folgendes:
[mm] C^{-1}*\varphi*C=J [/mm] (ordannormalform) ?
Um C berechnen zu können, musst du zu den Eigenwerten die Eigenvektoren berechnen. Diese bilden dann die Basis von C.
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Nope ...das ist nicht gemeint ... J soll die darstellende Matrix zur basis C sein wie die zur Standartbasis B.
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> Nope ...das ist nicht gemeint ... J soll die darstellende
> Matrix zur basis C sein wie die zur Standartbasis B.
Hallo,
was Du damit meinst, kapiere ich jetzt nicht so richtig...
Aber der Auftrag für b. steht ja: eine Basis C zu finden, so daß bezüglich dieser gerade die ermittelte JNF die darstellende Matrix der betrachteten Abbildung ist.
Eins noch vorweg: bitte schreib' immer Standard...
Um diese Basis zu finden, benötigst Du
Kern (A-2E), [mm] Kern(A-2E)^2, Kern(A-2E)^3.
[/mm]
Nimm als [mm] c_3 [/mm] einen Basisvektor von [mm] Kern(A-2E)^3, [/mm] welcher nicht in [mm] Kern(A-2E)^2 [/mm] liegt.
C:= [mm] ((A-2E)^2c_3,(A-2E)c_3,c_3) [/mm] tut dann das Gewünschte.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du ein Kochrezept für die JNF.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 21.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Das heißt also dass ich beginne mit:
[mm] Ker(A-2E)=Ker\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -7\\ 0 & 1 & 3}=<\pmat{1\\-3\\1}>
[/mm]
[mm] Ker(A-2E)^2=Ker\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -6 \\ 1 & 1 & 2}=<\pmat{1\\1\\-1}>
[/mm]
[mm] Ker(A-2E)^3=Ker\pmat{0}=<\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}>
[/mm]
Jetzt nehme ich mir den Vektor [mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] aus [mm] Ker(A-2E)^3 [/mm] und habe dann:
[mm] C:=((A-2E)^2*\pmat{1\\0\\0}, (A-2E)*\pmat{1\\0\\0}, \pmat{1\\0\\0})
[/mm]
Also:
[mm] C:=(\pmat{-1\\1\\0}, \pmat{1\\-3\\1}, \pmat{1\\0\\0})
[/mm]
Stimmt das dann so?
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> Das heißt also dass ich beginne mit:
> [mm]Ker(A-2E)=Ker\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -7\\ 0 & 1 & 3}=<\pmat{1\\-3\\1}>[/mm]
>
> [mm]Ker(A-2E)^2=Ker\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -6 \\ 1 & 1 & 2}=<\pmat{1\\1\\-1}>[/mm]
>
Hallo,
dieser Kern stimmt nicht. Die Matrix hat doch den Rang 1.
Daß das so nicht richtig sein kann, könntest Du daran merken, daß ja bei Dir
[mm] Ker(A-2E)\not\subset Ker(A-2E)^2 [/mm] ist.
> Stimmt das dann so?
Diese Frage kannst Du Dir im Grunde selbst beantworten, indem Du die
Transformationsmatrizen aufstellst, und dann nachguckst, ob die JNF herauskommt.
Mach das mal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Do 21.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay das mit der dim des Kerns ist mir dann auch im Nachhinein gekommen :-[
Also:
[mm] Ker(A-2E)=Ker\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -7\\ 0 & 1 & 3}=<\pmat{1\\-3\\1}>
[/mm]
[mm] Ker(A-2E)^2=Ker\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -6 \\ 1 & 1 & 2}=<\pmat{0\\2\\-1}, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 }> [/mm]
[mm] Ker(A-2E)^3=Ker\pmat{0}=<\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}>
[/mm]
Jetzt ist auch [mm] Ker(A-2E)\subset Ker(A-2E)^2 \subset Ker(A-2E)^3
[/mm]
Nun wähle ich einen Vektor aus [mm] Ker(A-2E)^3 [/mm] welcher nicht in [mm] Ker(A-2E)^2 [/mm] liegt:
Also zb [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und konstruiere daraus die Basis:
[mm] C:=((A-2E)*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }, (A-2E)^2*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }, \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 })=(\pmat{-1 \\ 1 \\ 0}, \pmat{1\\-3\\1}, \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 })
[/mm]
Zur Probe dann die Transformationsmatrix:
von der Standardbasis B in die neue Basis C:
[mm] T^B_C=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Aber wie kontrolliere ich damit jetzt mein ergebniss?
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> Zur Probe dann die Transformationsmatrix:
> von der Standardbasis B in die neue Basis C:
> [mm]T^B_C=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
Hallo,
nein, genau umgekehrt:
Die von Dir aufgeschriebene Matrix tut folgendes: Du steckst Vektoren in der Darstellung bzgl. C hinein, und es werden Dir dieselben Vektoren in der Darstellung bzgl. der Standardbasis B ausgegeben.
Schau: ich stecke jetzt den ersten Basisvektor Deiner neuen Basis C hinein. In Koordinaten bzgl. C ist das [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_C.
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }\vektor{1 \\ 0\\0}=\vektor{-1 \\ 1\\0}, [/mm] also genau derselbe Vektor in der Darstellung bzgl der Standardbasis.
>
> Aber wie kontrolliere ich damit jetzt mein ergebniss?
Jetzt brauchst Du noch die Inverse der Transformationsmatrix, und dann multiplizierst Du die eine vorne und die andere hinten dran an die Startmatrix A.
A gibt ja die Abbildung in der Standardbasis B an. Also muß rechts von A die Transformationsmatrix hin, welche die Vektoren bzgl. C in solche bzgl B umwandelt. Denn nur solche "frißt" A.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 24.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay danke .... dann habe ich also:
Die Transformationsmatrix von C nach B:
[mm] T=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Die von B nach C:
[mm] T^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Dann mache ich:
[mm] T*A*T^{-1} [/mm] und müsste dann die Jordannormalform erhalten:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }*\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -7\\ 0 & 1 & 5}*\pmat{ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }=\pmat{-3 & -3 & -5 \\ 22 & 20 & 38 \\ - 7 & - 6 & - 11 }
[/mm]
Also ist meine Basis falsch :( :-@ ... aber wo liegt der Fehler???
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> Also ist meine Basis falsch :( :-@ ... aber wo liegt der
> Fehler???
Hallo,
kleine Ursache, große Wirkung:
die Reihenfolge ist hier nicht unerheblich.
Du hast die richtigen Basisvektoren falsch angeordnet.
Ich schrieb
>> C:= $ [mm] ((A-2E)^2c_3,(A-2E)c_3,c_3) [/mm] $ tut dann das Gewünschte.
Also [mm] C:=(\vektor{1\\ -3\\1}, \vektor{11\\ 1\\0}, \vektor{0\\ 0\\1})
[/mm]
Entsprechend ist dann Deine Transformationsmatrix anders und ihre Inverse. Dann klappt's.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ich bin inzwischen echt kuru vorm Verzweifeln :(
Wenn ich die Basisvektoren umstelle erhalte ich die Transformationsmatrix:
[mm] T=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
und deren Inverse:
[mm] T^{-1}=\pmat{ -0,5 & -0,5 & 0 \\ -1,5 & -0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1 }
[/mm]
Wenn ich dann Multipliziere erhalte ich:
[mm] T*A*T^{-1}=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }*
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -7\\ 0 & 1 & 5}*\pmat{ -0,5 & -0,5 & 0 \\ -1,5 & -0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1 }=\pmat{ 4 & 4 & 8 \\ -4 & -4 & 10 \\ 1 & 2 & 6 }
[/mm]
Also wieder nichts mit Jordan :(
Wenn ich T und [mm] T^{-1} [/mm] vertausche erhalte ich:
[mm] T^{-1}*A*T=\pmat{ -0,5 & -0,5 & 0 \\ -1,5 & -0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -7\\ 0 & 1 & 5}*\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Und wieder kein Jordan :(
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> Ich bin inzwischen echt kuru vorm Verzweifeln :(
>
> Wenn ich die Basisvektoren umstelle erhalte ich die
> Transformationsmatrix:
> [mm]T=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
Ich sehe gerade, daß sich ein weiterer Fehler eingeschlichen hat, welchen ich übersehen habe:
Du hattest Dich ursprünglich entschieden, als [mm] c_3 [/mm] den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] zu verwenden, und entsprechend [mm] (A-2E)^2c_3 [/mm] und [mm] (A-2E)c_3 [/mm] berechnet.
In Deiner Matrix T hast Du nun aber plötzlich als dritten Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1} [/mm] - kein Wunder, daß es da nicht richtig paßt.
> Ich bin inzwischen echt kuru vorm Verzweifeln :(
Ich verspreche Dir, daß Du nicht verzweifeln mußt. Nimm die richtige Matrix, welche auch den Vorteil hat, daß die Inverse keine Brüche enthalt. Dann wird alles gut...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ... auf ein neues:
Dann habe ich also:
[mm] T=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
und
[mm] T^{-1}=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
und dann:
[mm] T^{-1}*A*T=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 }*\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -7\\ 0 & 1 & 5}*\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Endlich :)
Danke für die Geduld und die viele Hilfe!
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> Hi,
>
> zur b):
>
> Du meinst sicher folgendes:
>
> [mm]C^{-1}*\varphi*C=J[/mm] (ordannormalform) ?
>
> Um C berechnen zu können, musst du zu den Eigenwerten die
> Eigenvektoren berechnen. Diese bilden dann die Basis von
> C.
Hallo,
das klappt so nicht.
Denn wir haben hier den Fall, daß die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 lediglich 1 ist.
Daher haben wir keine Chance zu diagonalisieren, also eine Basis aus Eigenvektoren zu finden.
Der Eigenvektor, der den Eigenraum zu 2 aufspannt, interessiert uns aber trotzdem.
Gruß v. Angela
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Hallo,
bei der a. hast Du das charakteristische Polynom ermittelt als [mm] X_A(x)=(x-2)^3, [/mm] was richtig ist.
Du schließt dann sofort
> [mm]\Rightarrow[/mm] Jordan-Normalform: [mm]J=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
Mich dünkt, das ist etwas schnell, wenn auch im Ergebnis richtig.
Aber woher weißt Du, daß die JNF nicht so: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] oder [mm] so:\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
aussieht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ich habe mir überlegt dass [mm] E_2 [/mm] also der Eigenraum folgende Form hat:
[mm] E_2=Kern(A-2E)=Kern\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -7\\ 0 & 1 & 3}
[/mm]
Da ich die Dimenson des Kerns brauche für die Kästchenanzahl kann ich sagen:
[mm] dim(Ker(E_2)=3-rg\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -7\\ 0 & 1 & 3}=3-2=1
[/mm]
Also gibt es ein Kästchen und damit $ [mm] J=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] $
Oder?
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Hallo,
ja, so ist das richtig.
Gruß v. Angela
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