Jordan-Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \delta \varepsilon [/mm] End(V ) ein Endomorphismus des sechsdimensionalen reellen Vektorraums V , mit
mindestens drei verschiedenen (nicht unbedingt reellen) Eigenwerten.
Geben Sie alle moglichen rellen Jordanschen Normalformen an, die [mm] \delta [/mm] haben kann, wenn
die Gleichung [mm] \delta [/mm] ^6 [mm] -2\delta [/mm] ^4 + [mm] 2\delta [/mm] ^2 = 0 erfullt.
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Hallo!
also bisher habe ich mir folgendes überlegt:
also dadurch dass es die nullmatrix ergeben muss, muss ja:
[mm] \delta [/mm] ^6 + [mm] 2\delta [/mm] ^2 = [mm] 2\delta [/mm] ^4
sein. aber irgendwie hilft mir das noch nicht so wirklich weiter? habt ihr vlt tips wie ich weiter vorgehen muss?
danke Schonmal
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Hallo HansPeter,
> Es sei [mm]\delta \varepsilon[/mm] End(V ) ein Endomorphismus des
> sechsdimensionalen reellen Vektorraums V , mit
> mindestens drei verschiedenen (nicht unbedingt reellen)
> Eigenwerten.
>
> Geben Sie alle moglichen rellen Jordanschen Normalformen
> an, die [mm] \delta[/mm] haben kann, wenn
> die Gleichung [mm]\delta[/mm] ^6 [mm]-2\delta[/mm] ^4 + [mm]2\delta[/mm] ^2 = 0
> erfullt.
>
> Hallo!
> also bisher habe ich mir folgendes überlegt:
> also dadurch dass es die nullmatrix ergeben muss, muss
> ja:
> [mm]\delta[/mm] ^6 + [mm]2\delta[/mm] ^2 = [mm]2\delta[/mm] ^4
> sein. aber irgendwie hilft mir das noch nicht so wirklich
> weiter? habt ihr vlt tips wie ich weiter vorgehen muss?
Berechne zunächst die Lösungen der Gleichung
[mm]\delta^{6} -2\delta^{4} + 2\delta^{2} = 0[/mm]
Das sind dann die Eigenwerte [mm]\delta_{k}, k=1...6[/mm]
> danke Schonmal
Gruß
MathePower
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> > Es sei [mm]\delta \varepsilon[/mm] End(V ) ein Endomorphismus des
> > sechsdimensionalen reellen Vektorraums V , mit
> > mindestens drei verschiedenen (nicht unbedingt reellen)
> > Eigenwerten.
> >
> > Geben Sie alle moglichen rellen Jordanschen Normalformen
> > an, die [mm] \delta[/mm] haben kann, wenn
> > die Gleichung [mm]\delta[/mm] ^6 [mm]-2\delta[/mm] ^4 + [mm]2\delta[/mm] ^2 = 0
> > erfullt.
>
> Berechne zunächst die Lösungen der Gleichung
>
> [mm]\delta^{6} -2\delta^{4} + 2\delta^{2} = 0[/mm]
>
> Das sind dann die Eigenwerte [mm]\delta_{k}, k=1...6[/mm]
Hallo,
es ist nirgends die Rede davon, daß [mm] p(\delta)= \delta^{6} -2\delta^{4} [/mm] + [mm] 2\delta^{2} [/mm] das charakteristische Polynom ist.
Somit sind die Nullstellen von p nur die prinzipiell möglichen Eigenwerte.
Gruß v. Angela
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danke euch schonmal... nene [mm] \delta [/mm] ist die Abbildung selber..
aber geht trotzdem so?
ja okay dann hab ich die möglichen eigenwerte und kann die schonmal auf die diagonale schreiben, aber bezüglich den einsen in der jordannormalform, muss ich ja noch raus bekommen wie die vielfachheit bekomme. aber wie bekomm ich das hin?
danke schonmal
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Hallo HansPeter,
> danke euch schonmal... nene [mm]\delta[/mm] ist die Abbildung
> selber..
> aber geht trotzdem so?
Ja.
>
> ja okay dann hab ich die möglichen eigenwerte und kann die
> schonmal auf die diagonale schreiben, aber bezüglich den
> einsen in der jordannormalform, muss ich ja noch raus
> bekommen wie die vielfachheit bekomme. aber wie bekomm ich
> das hin?
Nun darin liegt ja die Aufgabe.
Die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume zu den Eigenwerten sind nicht bekannt.
Sie sind aber mindestens 1.
Deshalb sind hier alle möglichen Jordannormalformen anzugeben.
> danke schonmal
Gruß
MathePower
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hm? bin mir nicht so sicher ob das wirklich so funktioniert oder ob ic da irgendwas falsch mache..
also hab mir die nullstellen ausrechnen lassen und dass ist halt 2 mal die 0 und dann sind die komplexen gaaaaaaaaaaaaaanz krumme werte und das kann ich mir schlecht vorstellen dass wir eine matrix mit so krummen werten aufstellen sollen
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Hallo HansPeter,
> hm? bin mir nicht so sicher ob das wirklich so funktioniert
> oder ob ic da irgendwas falsch mache..
> also hab mir die nullstellen ausrechnen lassen und dass
> ist halt 2 mal die 0 und dann sind die komplexen
> gaaaaaaaaaaaaaanz krumme werte und das kann ich mir
> schlecht vorstellen dass wir eine matrix mit so krummen
> werten aufstellen sollen
So krumm sind die komplexen Eigenwerte nicht.
Poste doch bitte mal die Rechenschritte,
wie Du auf die "gaaaaaaaaaaaaaanz krummen Werte" gekommen bist.
Gruß
MathePower
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> hm? bin mir nicht so sicher ob das wirklich so funktioniert
Hallo,
wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, funktioniert es nicht so, wie Du denkst, mit "erstmal Eigenwerte auf die Diagonale".
Ich verstehe das so: es ist ein Polynom p angegeben, welches vom Minimalpolynom von [mm] \delta [/mm] geteilt wird.
Also kommen als Eigenwerte von [mm] \delta [/mm] nur solche Werte infrage, die Nullstellen von p sind.
Weitere Einschränkungen kommen, weil mindestens drei verschiedene (nicht unbedingt reelle) Nullstellen gefordert sind.
Da [mm] \delta [/mm] ein Endomorphismus zwischen zwei 6-dimensionalen Vektorräumen ist, hat ist seine darstellende Matrix nur reelle Einträge, das charakteristische Polynom nur reelle Koeffizienten.
Also kommen als Nullstellen des Minimalpolynoms, sofern sie nichtreell sind, nur konjugiert-komplexe Paare infrage, was die nächste Einschränkung ist.
Im Falle nichtreeller Nullstellen zerfällt das charakteristische Polynom über [mm] \IR [/mm] nicht, so daß man hier keine Jordannormalform hat.
In der Aufgabe steht aber auch, daß Du die "reelle Jordannormalform" von [mm] \delta [/mm] sagen sollst, vielleicht schaust Du nochmal nach, wie das geht.
> oder ob ic da irgendwas falsch mache..
> also hab mir die nullstellen ausrechnen lassen und dass
> ist halt 2 mal die 0 und dann sind die komplexen
> gaaaaaaaaaaaaaanz krumme werte und das kann ich mir
> schlecht vorstellen dass wir eine matrix mit so krummen
> werten aufstellen sollen
S. MathePowers Hinweis: wenn Du nicht rechnen läßt, sondern selbst rechnest, dann sind die Nullstellen vielleicht gar nicht so krumm.
Insbesondere müssen sie in konjugiert-komplexen Paaren vorliegen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 18.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
ja sry, da war ich wohl zu voreilig...
aber du hast recht mit der reelen jordannormalform.
weiß auch wie das geht.
also mache ich das jetzt so, dass ich die nullstellen ausrechne. hatte es bisher nur hier eingegeben gehabt : http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm muss mal gucken wie man das mit der hand macht. weiß ich ehrlich gesagt gar nicht so wirklich. kannst mir vlt als kontrolle die ergebnisse angeben? sind ja bestimmt welche wie 1+i oder so oder?
und dann die reele jordannormalform aufstellen und das wars schon oder? dann muss man ja nur sehen wo die einheitsmatrix über die einzelnen blöcke geschrieben wird....
danke euch beiden schonmal!!!! glaube mittlerweile versteh ich es fast komplett :)
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>kannst mir vlt als
> kontrolle die ergebnisse angeben?
Hallo,
ich hatte die irgendwann am Nachmittag mal auf einem Zeitungsrand ausgerechnet, ich seh's aber nirgends mehr, (und hab' nicht so viel Lust.)
Du kannst ja Deine errechneten Ergebnisse später einstellen, dann kann jemand gucken, ob sie richtig sind.
Aber Du merkst es auch selbst: schreibe die Linearfaktoren auf und fasse beim Ausrechnen jeweils (x - a) und [mm] (x-\overline{a}) [/mm] zusammen. Wenn Du so weit bist, kann Dir auch Arndt Brünner weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 18.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
okay okay danke ist ja auch nett genug von euch alles..
muss jetzt leider noch ne andere aufgabe machen, die ich morgen abgeben muss und dann werd ich mich morgen nochmal richtig mit dieser aufgabe befassen und die ew mal genau ausrechnen usw und dann frag ich euch mal was ihr dann von meinen jordannormalformen haltet ;)
schönen abend noch und danke
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Hallo!
also habe jetzt die Nullstellen bestimmt :)
war übrigens nen vorzeichenfehler deshalb hatte ich so krumme eigenwert e;)
also die eigenwerte sind:
0 (doppelt)
1 (doppelt)
-1 (doppelt)
so jetzt will ich ja die reele jordannormalform bestimmen und dazu schreibe ich die realteile ja auf die diagnonale und die imaginärteile fallen ja hier erstmal weg.
jetzt fehlen nur noch die einsen aber irgendwie hab ich hier die vermutung dass es hier keine einsen gibt. stimmt das? weil eigentlich könnte man ja über die einheitsmatrix (2x2) über dem block zu 1 nachdenken aber ich glaube es kommt nirgends eine eins hin oder?
also hier mein vorschlag:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo HansPeter,
> Hallo!
> also habe jetzt die Nullstellen bestimmt :)
> war übrigens nen vorzeichenfehler deshalb hatte ich so
> krumme eigenwert e;)
>
> also die eigenwerte sind:
> 0 (doppelt)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1 (doppelt)
> -1 (doppelt)
>
Die muß Du nochmal nachrechnen.
[mm]\delta^{6}-2\delta^{4}+2\delta^{2}=0[/mm]
[mm]\gdw \delta^{2}*\left(\delta^{4}-2\delta^{2}+2\right)=0[/mm]
[mm]\gdw \delta^{2}*\left(\delta^{4}-2\delta^{2}+1+1\right)=0[/mm]
[mm]\gdw \delta^{2}*\left(\left(\delta^{2}-1\right)^{2}+1\right)=0[/mm]
Da [mm]\left(\delta^{2}-1\right)^{2}+1=0[/mm] in [mm]\IR[/mm] keine Lösung hat,
muß hier [mm]\delta \in \IC[/mm] sein.
>
> so jetzt will ich ja die reele jordannormalform bestimmen
> und dazu schreibe ich die realteile ja auf die diagnonale
> und die imaginärteile fallen ja hier erstmal weg.
> jetzt fehlen nur noch die einsen aber irgendwie hab ich
> hier die vermutung dass es hier keine einsen gibt. stimmt
> das? weil eigentlich könnte man ja über die einheitsmatrix
> (2x2) über dem block zu 1 nachdenken aber ich glaube es
> kommt nirgends eine eins hin oder?
Das geht aus der Aufgabe nicht hervor.
>
> also hier mein vorschlag:
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
Der Jordanblock für den Eigenwert 0 kann dann hier so aussehen:
[mm]\pmat{\blue{0} & 0 \\ 0 & \blue{0}}[/mm] (Dimension des Eigenraums 2)
oder
[mm]\pmat{\blue{0} & 0 \\ \green{1} & \blue{0}}[/mm] bzw. [mm]\pmat{\blue{0} & \green{1} \\ 0 & \blue{0}}[/mm] (Dimension des Eigenraums 1)
Im letztern Fall kommt es auf die Reihenfolge der Eigenvektoren an.
Gruß
MathePower
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ja stimmt .. irgendwie hab ich mich da voll verhaun aber danke schonmal fürs faktorisieren.
also den block zum wert 0 haben wir ja dann bzw die beiden möglichkeiten.
und durch deine faktorisierung ist ja der 4x4 block:
der ist ja eindeutig oder?
[mm] \begin{pmatrix}
1& 1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
das wars dann oder?
dann hat man ja eigentlich jetzt 2 Möglichkeiten: einmal den 0er block mit eins und einmal ohne 1 mit dem 4x4 kombinieren.
das wars ja dann oder? die reihenfolge welcher block oben und welcher unten hin geschrieben wird ist ja egal oder?
also:
1)
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
2)
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
richtig?
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Hallo HansPeter,
> ja stimmt .. irgendwie hab ich mich da voll verhaun aber
> danke schonmal fürs faktorisieren.
> also den block zum wert 0 haben wir ja dann bzw die beiden
> möglichkeiten.
> und durch deine faktorisierung ist ja der 4x4 block:
> der ist ja eindeutig oder?
Dieser 4x4-Block ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der elementaren Jordanblöcke. Dasselbe gilt natürlich auch für den 2x2-Block.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1& 1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> das wars dann oder?
Nein, das wars leider nicht.
Die Einträge in dem 4x4-Böock stimmen nicht,
da [mm]1\pm i[/mm] keine Lösung der Gleichung
[mm]\left(\delta^{2}-1\right)^{2}+1=0[/mm]
ist.
Für [mm]\delta^{2}[/mm] gilt aber: [mm]\delta^{2}=1 \pm i[/mm]
> dann hat man ja eigentlich jetzt 2 Möglichkeiten: einmal
> den 0er block mit eins und einmal ohne 1 mit dem 4x4
> kombinieren.
> das wars ja dann oder? die reihenfolge welcher block oben
> und welcher unten hin geschrieben wird ist ja egal oder?
Ja, das ist egal.
>
> also:
> 1)
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> 2)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> richtig?
Nein, siehe oben.
Gruß
MathePower
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hm... wie kann ich denn die wurzel aus ner komplexen zahl ziehen? also hier aus 1-i bzw 1+i?
weil iwie find ich im internet nur was mit winkeln und ich habs noch nie gemacht... und im taschenrechner gibts diese krumme werte vom anfang.. sry dass ich mich so dumm anstelle aber komplexe zahlen sind iwie nicht mein ding
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Hallo HansPeter,
> hm... wie kann ich denn die wurzel aus ner komplexen zahl
> ziehen? also hier aus 1-i bzw 1+i?
> weil iwie find ich im internet nur was mit winkeln und ich
> habs noch nie gemacht... und im taschenrechner gibts diese
> krumme werte vom anfang.. sry dass ich mich so dumm
> anstelle aber komplexe zahlen sind iwie nicht mein ding
Um die Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, kannst Du so vorgehen:
[mm]\left(a+bi\right)^{2}=c+di, \ a,b,c,d \in \IR[/mm]
Durch Ausmultiplizieten erhält man
[mm]a^{2}+2abi+i^{2}*b^{2}=c+di[/mm]
[mm]\gdw a^{2}+2abi-b^{2}=c+di[/mm]
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil erhält man
[mm]a^{2}-b^{2}=c[/mm]
[mm]2*a*b=d[/mm]
Dieses Gleichungssystem muß jetzt gelöst werden.
Gruß
MathePower
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ja also wenn ich jetzt für c und d jeweils 1 einsetze weil ich ja von 1+i die wurzel ziehen möchte,
dann form ich zuerst die untere gleichung um ind: a = 1/2b und setze die in die obere ein. da hab ich dann 1/4b² -b² = 1 und das hat wieder so krumme werte.. hab alles sauberes ausprobiert... 1, 2, 0,5 usw..
aber vlt bin ich auch einfach zu doof.. könntet ihr mir da bitte nochmal helfen?
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Hallo HansPeter,
> ja also wenn ich jetzt für c und d jeweils 1 einsetze weil
> ich ja von 1+i die wurzel ziehen möchte,
> dann form ich zuerst die untere gleichung um ind: a = 1/2b
> und setze die in die obere ein. da hab ich dann 1/4b² -b² =
> 1 und das hat wieder so krumme werte.. hab alles sauberes
> ausprobiert... 1, 2, 0,5 usw..
Nun, da b offensichtlich von Null verschieden ist,
kannst Du obige Gleichung mit [mm]b^{2}[/mm] durchmultiplizieren:
[mm]\bruch{1}{4b^{2}}-b^{2}=1[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{1}{4}-b^{4}=b^{2}[/mm]
[mm]\gdw b^{4}+b^{2}-\bruch{1}{4}=0[/mm]
Dies ist eine biquadratische Gleichun, die durch die Substitution [mm]z=b^{2}[/mm] übergeht in
[mm]z^{2}+z-\bruch{1}{4}=0[/mm]
Dies ist eine quadratische Gleichung.
> aber vlt bin ich auch einfach zu doof.. könntet ihr mir da
> bitte nochmal helfen?
Gruß
MathePower
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ja die quadratische gleichung kann ich ja z.b jetzt mit p/q formel berechnen:
also z = -1/2 [mm] \pm \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm]
und jetzt müsste ich davon nochmal die wurzel nehmen um b raus zu bekommen oder? ist das nicht schon wieder so komischer wert?
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Hallo HansPeter,
> ja die quadratische gleichung kann ich ja z.b jetzt mit p/q
> formel berechnen:
> also z = -1/2 [mm]\pm \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> und jetzt müsste ich davon nochmal die wurzel nehmen um b
> raus zu bekommen oder? ist das nicht schon wieder so
> komischer wert?
Hier mußt Du beachten, daß b eine reelle Zahl ist,
daher kommt hier nur die Lösung in Betracht, bei der z > 0 ist.
Gruß
MathePower
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also ist b = [mm] \wurzel{-0,5+\wurzel{2}/2} \approx [/mm] 0,45.... das war dann auch der komische wert den ich am anfang meinte... :)
kann man das nicht irgendwie anders schreiben?
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Hallo HansPeter,
> also ist b = [mm]\wurzel{-0,5+\wurzel{2}/2} \approx[/mm] 0,45....
> das war dann auch der komische wert den ich am anfang
> meinte... :)
> kann man das nicht irgendwie anders schreiben?
Den Ausdruck am besten so stehen lassen: [mm]b=\pm\wurzel{\bruch{\wurzel{2}-1}{2}}[/mm]
Das ist dann [mm]b=\pm \wurzel[4]{2}*\sin\left(\bruch{\pi}{8}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo..
also habe mich heute nochmal erkundigt, weil die werte ja wirklich dann ziemlich blöd sind.
da war ein druckfehler ind er aufgabe.. tut mir leid für deine mühe mathepower aber deshalb war das alles auch so blöd zum ausrechnen.
das Polynom in Aufgabe 1 heißt:
[mm] \delta^6 [/mm] - 2* [mm] \delta^4 [/mm] + [mm] \delta^2 [/mm] = 0
so und wenn man das jetzt ausrechnet hat man also:
x= 1 (doppelt)
x= -1 (doppelt)
x= 0 (doppelt)
so jetzt möchte ich die reele jordannormalform dazu aufstellen.
da entstehen ja jetzt recht viele möglichkeiten oder?
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
und jetzt kann man halt zu jedem block da noch einsen hinzufügen, dass
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
oder ist das jetzt auch falsch?
das mit komplexen werten ist erst für aufgabe b relevant. weil dort wirklich komplexe eigenwerte rauskommen.
danke schonmal und sry mathepower..
gruß Hanspeter
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> das Polynom in Aufgabe 1 heißt:
> [mm]\delta^6[/mm] - 2* [mm]\delta^4[/mm] + [mm]\delta^2[/mm] = 0
> so und wenn man das jetzt ausrechnet hat man also:
> x= 1 (doppelt)
> x= -1 (doppelt)
> x= 0 (doppelt)
Hallo,
also [mm] p(X)=X^2(X-1)^2(x+1)^2.
[/mm]
Wenn das das charakteristische Polynom sein soll, hast Du die Aufgabe (bis auf einen Tippfehler) richtig gelöst.
Aber ich sehe in der Aufgabenstellung gar nichts nichts davon, daß es sich um das charakteristische Polynom handelt!
Ich würde hier jetzt so denken, wie ich es oben bereits gesagt hatte:
dieses Polynom p wird vom Minimalpolynom von [mm] \delta [/mm] geteilt, und weil [mm] \delta [/mm] mindestens drei verschiedene Eigenwerte hat, hat das Minimalpolynom die Gestalt [mm] m(X)=X^r(X-1)^s(X+1)^t, [/mm] wobei [mm] r,s,t\in \{1,2\}.
[/mm]
Nehmen wir jetzt mal an, daß das Minimalpolynom beispielsweise m(X)=X(X-1)(X+1) ist.
Dann könnte das charakteristische Polynom doch [mm] X^4(X-1)(X+1) [/mm] lauten, die anderen Möglichkeiten werden Dir selbst einfallen.
Auf diese Weise kommt noch ein bißchen mehr zusammen als das, was Du bisher hast.
Oder denke ich kraus?
Gruß v. Angela
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ja angela. da hast du recht. das ist gar nich das charakteristische polynom und deine argumentation klingt schlüssig.
aber dann könnte ich jetzt also das gleiche spiel nochmal damit machen wenn z,b 0 1facher oder 3 facher oder 4 facher eigenwert wär usw...
das würd ja bedeutet ich hätte hinterher fast 30 verschiedene möglichkeiten... meinst du nicht dass ist nen bisschen zu viel??
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> aber dann könnte ich jetzt also das gleiche spiel nochmal
> damit machen wenn z,b 0 1facher oder 3 facher oder 4 facher
> eigenwert wär usw...
> das würd ja bedeutet ich hätte hinterher fast 30
> verschiedene möglichkeiten... meinst du nicht dass ist nen
> bisschen zu viel??
Hallo,
ich hatte die entsprechende Bemerkung in meiner Antwort wieder entfernt, damit ich Dich nicht demoralisiere.
Wieviele Möglichkeiten es sind, hab' ich gar nicht ausgerechnet.
Aber wo Du mich nun ausdrücklich fragst: mir wär's zuviel, und ich hätte wenig Lust, die alle aufzuschreiben.
(Genausowenig Lust hätte ich, sowas 100mal zu korrigieren!)
Vielleicht fragst Du mal beim Herrscher über die Übungsblätter nach, wie das gemeint ist. Vielleicht wurde ja auch vergessen mitzuteilen, daß es sich ums charakteristische Polynom handelt.
Falls es irgendwelche Gründe gibt, die Dich am Nachfragen hindern (z.B. der Feiertag), dann rechne doch vor, wieviele Möglichkeiten es gibt,
und die 8 für den Fall, daß das gegebene Polynom das charakteristische ist, schreibst Du hin.
So sieht man doch, daß Du weißt wie es geht. ("Völlig analog erhält man...")
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mi 20.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
okay okay.. hast recht...
also werde das jetzt mal so hinschreiben und dann ist gut... :)
ist ja dann wirklich nur noch stumpfes aufzählen...
danke danke euch beiden!
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