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| Aufgabe | Wie sieht die Jordan'sche Normalform von
[mm] A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] aus? |
Hallo,
ich komme auf [mm] J((3,2))=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}. [/mm] Stimmts?
Wir hatten bisher nur die Jordan-Normalform für nilpotente Matrizen, was die ganze Sache etwas einfacher macht.
Ich habe dazu folgendes gemacht:
A als Darstellungsmatrix eines Endomorphismus' [mm] f:K^5\rightarrow K^5 [/mm] aufgefasst.
Erstmal ist dann zu sagen, dass ab n=3 [mm] A^n=0 [/mm] gilt.
Ich berechne nun [mm] dimKer(f),dimKer(f^2). [/mm] Für [mm] dimKer(f^3) [/mm] und größer weiß ich, dass dies gleich 5 ist.
Damit komme ich auf meine Partition und die entsprechende Jordan-Normalform. Da ich das ganze zum ersten Mal mache, will ich nur wissen, ob das Verfahren stimmt, bzw. die Matrix richtig ist???
Gruß Sleeper
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> Wie sieht die Jordan'sche Normalform von
> [mm]A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> aus?
> Hallo,
>
> ich komme auf [mm]J((3,2))=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
> Stimmts?
>
> Wir hatten bisher nur die Jordan-Normalform für nilpotente
> Matrizen, was die ganze Sache etwas einfacher macht.
>
> Ich habe dazu folgendes gemacht:
> A als Darstellungsmatrix eines Endomorphismus'
> [mm]f:K^5\rightarrow K^5[/mm] aufgefasst.
>
> Erstmal ist dann zu sagen, dass ab n=3 [mm]A^n=0[/mm] gilt.
> Ich berechne nun [mm]dimKer(f),dimKer(f^2).[/mm] Für [mm]dimKer(f^3)[/mm]
> und größer weiß ich, dass dies gleich 5 ist.
>
> Damit komme ich auf meine Partition und die entsprechende
> Jordan-Normalform. Da ich das ganze zum ersten Mal mache,
> will ich nur wissen, ob das Verfahren stimmt, bzw. die
> Matrix richtig ist???
EDITIERT:
Hallo,
die JNF stimmt nicht:
der Rang der Matrix ist =2, also hat der kern die Dimension 3. Du hast also drei Jordankästchen zum Eigenwert 0.
Aufgrund der Kernüberlegung hat das längste die Länge 3, so daß Deine Kästchen die Längen 3,1,1 haben müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 30.05.2009 | | Autor: | new |
Wie kommst du denn auf 3,2? Dim Kern f ist ja 3. Dim Kern [mm] f^{2} [/mm] ist 4. Und die Kern [mm] f^{3} [/mm] ist 5. Dann erhalte ich doch 3,1,1 oder wo liegt mein Denkfehler?
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> Wie kommst du denn auf 3,2? Dim Kern f ist ja 3.
Hallo,
und: Himmel!
Ich war wohl noch nicht so taufrisch heute morgen. Vielen Dank! Ich werd's gleich korrigieren.
Du hast völlig recht, die Dimension des Kerns ist =3, so daß man drei l.u. Eigenvektoren und damit drei Jordankästchen hat.
> Dim Kern
> [mm]f^{2}[/mm] ist 4. Und die Kern [mm]f^{3}[/mm] ist 5. Dann erhalte ich
> doch 3,1,1 oder wo liegt mein Denkfehler?
Nirgendwo.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Sa 30.05.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Achja hab ich auch raus 3,1,1. War nur zu blöd beim Umdenken. Das ist ja selbstdual.
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