Jordan-Nullmenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mi 09.07.2014 | | Autor: | piriyaie |
Hallo,
ich versuche gerade zu verstehen was eine Jordan-Nullmenge ist. Also unsere Definition lautet wie folgt:
Eine Teilmenge A [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] heißt Jordan-Nullmenge, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine endliche Familie von Quadern [mm] Q_{1}, [/mm] ..., [mm] Q_{k} [/mm] gibt mit
A [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{k}Q_{i} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{k} \mu( Q_{i}) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Leider verstehe ich diese Definition nicht :-(. Ich will wissen was eine Jordan-Nullmenge ist aber ich checks einfach nicht :-(.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mi 09.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich versuche gerade zu verstehen was eine Jordan-Nullmenge
> ist. Also unsere Definition lautet wie folgt:
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> Eine Teilmenge A [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] heißt Jordan-Nullmenge,
> wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 eine endliche Familie von
> Quadern [mm]Q_{1},[/mm] ..., [mm]Q_{k}[/mm] gibt mit
>
> A [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{k}Q_{i}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{k} \mu( Q_{i})[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Leider verstehe ich diese Definition nicht :-(.
Was verstehst Du daran nicht ?
Ist Dir bekannt, was der innere Inhalt (der äußere Inhalt) einer beschränkten Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist ?
A ist eine Jordan-Nullmenge, wenn der äußere Inhalt von A =0 ist.
FRED
> Ich will
> wissen was eine Jordan-Nullmenge ist aber ich checks
> einfach nicht :-(.
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 09.07.2014 | | Autor: | piriyaie |
> > Hallo,
> >
> > ich versuche gerade zu verstehen was eine Jordan-Nullmenge
> > ist. Also unsere Definition lautet wie folgt:
> >
> > Eine Teilmenge A [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] heißt Jordan-Nullmenge,
> > wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 eine endliche Familie von
> > Quadern [mm]Q_{1},[/mm] ..., [mm]Q_{k}[/mm] gibt mit
> >
> > A [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{k}Q_{i}[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{k} \mu( Q_{i})[/mm]
> > < [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> >
> > Leider verstehe ich diese Definition nicht :-(.
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> Was verstehst Du daran nicht ?
>
> Ist Dir bekannt, was der innere Inhalt (der äußere
> Inhalt) einer beschränkten Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist ?
Meinst du mit dem Inneren das A°?
Und das äußere den Rand einer Menge? Also [mm] \partial [/mm] A?
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> A ist eine Jordan-Nullmenge, wenn der äußere Inhalt von A
> =0 ist.
>
Soll das heißen: "Jede offene Menge ist eine Jordan Nullmenge?
> FRED
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> > Ich will
> > wissen was eine Jordan-Nullmenge ist aber ich checks
> > einfach nicht :-(.
> >
> > Bin für jede Hilfe dankbar.
> >
> > Grüße
> > Ali
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Wäre super wenn du mir das irgendwie genauer beschreiben könntest. Evtl mit einem Beispiel.
Danke.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mi 09.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo piriyaie,
> > > Leider verstehe ich diese Definition nicht :-(.
> >
> > Was verstehst Du daran nicht ?
> >
> > Ist Dir bekannt, was der innere Inhalt (der äußere
> > Inhalt) einer beschränkten Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist ?
> Meinst du mit dem Inneren das A°?
> Und das äußere den Rand einer Menge? Also [mm]\partial[/mm] A?
Offensichtlich ist dir die Def. von äußerem Inhalt und innerem Inhalt nicht bekannt. Sie lautet:
Sei [mm] J^n=\{]a,b[:a,b\in\IR^n, a\le b\}, [/mm] ferner [mm] \mathcal{J}^n=\{\bigcup_{i=1}^m I_i:I_i\in J^n\forall i=1,...,m \wedge I_i\cap I_j=\emptyset\forall i,j\in\{1,...,m\} \mbox{mit} i\not=j\}. [/mm]
[mm] \mathcal{J}^n [/mm] beschreibt also einfach die disjunkten endlichen Vereinigungen von Elementen aus [mm] J^n. [/mm] Wir definieren den Inhalt (Jordan-Maß) [mm] \mu^n [/mm] durch
[mm] \mu^n(]a,b[)=\produkt_{i=1}^{n}b_i-a_i [/mm] und [mm] \mu^n(\emptyset)=0 [/mm] mit [mm] a,b\in\IR^n, $a\le [/mm] b$.
Der für dich relevante äußere Inhalt ist definiert als
[mm] \overline{i}^n(A)=inf\{\mu^n(M):M\in\mathcal{J}^n, M\supseteq A\} [/mm] mit [mm] A\subseteq \IR^n.
[/mm]
Wie man sich das graphisch vorstellen kann, ist in der Abbildung dargestellt. Du wählst nun das Infimum der Obermenge, also quasi den Schnitt aller Obermengen, die aus den Quadern bestehen, die du in deinem Satz als [mm] Q_i [/mm] bezeichnest.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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