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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und A [mm] \in K^{n,n}. [/mm] Das charakteristische Polynom [mm] P_{A} [/mm] von A zerfalle in Linearfaktoren. Das Minimalplynom von A werde mit [mm] M_{A} [/mm] bezeichnet. Zeigen Sie:
1) Ist n=2 oder n=3 , so ist die Jordan - Normalform [mm] J_{A} [/mm] von A eindeutig durch [mm] P_{A} [/mm] und [mm] M_{A} [/mm] bestimmt.
Hinweis: Fallunterscheidung zur Anzahl paarweiser verschiedener Eigenwerte von A.
2) Für n [mm] \ge [/mm] 4 ist die Jordan - Normalform [mm] J_{A} [/mm] von A nicht eindeutig durch [mm] P_{A} [/mm] und [mm] M_{A} [/mm] bestimmt. |
Hallo,
leider habe ich zur 1) noch absolut keinen Plan und bei der 2) wollte ich erstmal nur wissen, ob es da reicht, wenn ich eine 4 x 4 Matrix angebe für die die Jordan - Normalform nicht eindeutig durch char. Polynom und Minimalpolynom bestimmt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 03.07.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hallo,
zu 1.)
Welche Gestalt kann denn das Minimalpolynom haben? Z.B. bei n=2: Entweder [mm] \mu_{1} [/mm] (x) = [mm] x-\lambda [/mm] oder [mm] \mu_{2} [/mm] (x) = [mm] (x-\lambda)^{2} [/mm] oder [mm] \mu_{3} [/mm] (x) = [mm] (x-\lambda_{1})(x-\lambda_{2})
[/mm]
Bei [mm] \mu_{1} [/mm] und [mm] \mu_{3} [/mm] ist die Matrix eine Diagonalmatrix, also eindeutig bestimmt.
Bei [mm] \mu_{2} [/mm] existiert ein Jordan-Block der Größe 2, also eindeutig bestimmt.
zu 2.) Sei z.B. [mm] \mu [/mm] (x) = [mm] (x-\lambda)^{2} [/mm] bei einer 4x4-Matrix. Dann wissen wir, es existiert ein Jordan-Block der Größe 2. Aber es kann noch ein weiterer Jordan-Block der Größe 2 oder zwei Jordan-Blöcke der Größe 1 geben. Also nicht eindeutig bestimmt.
Gruß,
DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Richler |
und wie kann man den hinweis mit einbeziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 04.07.2013 | | Autor: | DrRiese |
Haben wir doch. Wir machen eine Fallunterscheidung, wie das Minimalpolynom aussehen könnte, bei einem, zwei, oder bei n=3, drei paarweise verschiedenen Eigenwerten. Und dann, ob die Matrix diagonalisierbar ist oder nicht entsprechend (bei Vorliegen eines Eigenwertes [mm] \lambda) \mu_{1}(x)=x-\lambda [/mm] oder (bei n=2) [mm] \mu_{2}(x)=(x-\lambda)^{2}
[/mm]
Gruß,
DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Fr 05.07.2013 | | Autor: | Richler |
Ja stimmt , danke für deine Hilfe 
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