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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 09.06.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Bestimme die Jordan´sche Normalform der Matrix
[mm] A=\pmat{ 0 & 1&0&-1&0&1&0 \\ &0&1&0&0&0&-1\\ &&0&0&0&1&0\\&&&0&1&0&-1\\&&&&0&1&0\\&&&&&0&0\\ &&&&&&0} [/mm] |
Der einzige Eigenwert ist [mm] \lambda [/mm] =0 zu der algebraischen Vielfachheit 7.
D.h die Blöck zum EIgenwert 0 sind insgesamt der Länge 7.
N= A - 0 [mm] I_n [/mm] = A
[mm] A^2 =\pmat{ 0 & 0&1&0&-1&0&0 \\ &0&0&0&0&1&0\\ &&0&0&0&0&0\\&&&0&0&1&0\\&&&&0&0&0\\&&&&&0&0\\ &&&&&&0}
[/mm]
[mm] A^3 [/mm] =0
dim(ker A) = 3 -> 3 Blöcke zum Eigenwert 0
dim(ker A ^2 )=5
dim(ker [mm] A^3)=7 [/mm] -> [mm] ker(A^3)=\IR^7
[/mm]
Ich verstehe nun nicht, wie ich die Länge der Blöcke herausbekomme.
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Hallo quasimo,
> Bestimme die Jordan´sche Normalform der Matrix
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1&0&-1&0&1&0 \\ &0&1&0&0&0&-1\\ &&0&0&0&1&0\\&&&0&1&0&-1\\&&&&0&1&0\\&&&&&0&0\\ &&&&&&0}[/mm]
>
> Der einzige Eigenwert ist [mm]\lambda[/mm] =0 zu der algebraischen
> Vielfachheit 7.
> D.h die Blöck zum EIgenwert 0 sind insgesamt der Länge
> 7.
> N= A - 0 [mm]I_n[/mm] = A
> [mm]A^2 =\pmat{ 0 & 0&1&0&-1&0&0 \\ &0&0&0&0&1&0\\ &&0&0&0&0&0\\&&&0&0&1&0\\&&&&0&0&0\\&&&&&0&0\\ &&&&&&0}[/mm]
>
> [mm]A^3[/mm] =0
>
> dim(ker A) = 3 -> 3 Blöcke zum Eigenwert 0
> dim(ker A ^2 )=5
> dim(ker [mm]A^3)=7[/mm] -> [mm]ker(A^3)=\IR^7[/mm]
>
Die Anzahl [mm]N_{l}\left(\lambda\right)[/mm] der elementaren Jordanblöcke
der Größe l zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ergibt sich nach folgender Formel:
[mm]N_{l}\left(\lambda\right)=-\operatorname{dim \ Kern}\left(A-\lambda*I\right)^{l+1}+2*\operatorname{dim \ Kern}\left(A-\lambda*I\right)^{l}-\operatorname{dim \ Kern}\left(A-\lambda*I\right)^{l-1}[/mm]
,wobei I die Einheitsmatrix ist.
> Ich verstehe nun nicht, wie ich die Länge der Blöcke
> herausbekomme.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 09.06.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke.
Und wie weiß man in der Nebendiagonale ob ein1er oder 0er vorkommt?
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Hallo quasimo,
> Danke.
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> Und wie weiß man in der Nebendiagonale ob ein1er oder
> 0er vorkommt?
Das hängt von der Größe des elementaren Jordanblocks ab.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 09.06.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
aber wie sehe ich trotzdem ob nur ein 1er und 0er in der nebendiagonle ist?
Lg
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Hallo quasimo,
> hallo,
> aber wie sehe ich trotzdem ob nur ein 1er und 0er in der
> nebendiagonle ist?
>
Ein 1er tritt in der Nebendiagonale auf,
wenn der elementare Jordanblock die Größe 2 hat.
Zwei 1er treten in der Nebendiagonale auf,
wenn der elementare Jordanblock die Größe 3 hat
> Lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 So 10.06.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich danke dir.
LG
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