Jordan über C < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Do 16.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] $t\in\mathbb{R}.$ [/mm] Bestimmen Sie die Jordan'sche Normalform über
[mm] $\mathbb{C}$ [/mm] der folgenden Matrix:
[mm] $\begin{pmatrix}\mbox{cos }t & \mbox{-sin }t\\
\mbox{sin }t & \mbox{cos }t\end{pmatrix}$.\\
[/mm]
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Hallo,
ich habe hier ersteinmal versucht die Eigenwerte zu bestimmen, komme
da aber schon zu nix erfreulichem.
Es ist das charakteristische Polynom: [mm] $\chi_{A}=(T-\mbox{cos}t)^{2}+\mbox{sin}^{2}t=T^{2}-2T\mbox{cos}t+1.$
[/mm]
Wie soll ich da aber Nullstellen ausrechnen. Ich kanns ja nur in Abhängigkeit
von $t$ machen.
Aber dann schaffe ich es irgendwie nicht weiter, also die Berechnung
der Dimension der [mm] Kerne.\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:48 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]t\in\mathbb{R}.[/mm] Bestimmen Sie die Jordan'sche
> Normalform über
> [mm]\mathbb{C}[/mm] der folgenden Matrix:
> [mm]$\begin{pmatrix}\mbox{cos }t & \mbox{-sin }t\\
\mbox{sin }t & \mbox{cos }t\end{pmatrix}$.\\[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich habe hier ersteinmal versucht die Eigenwerte zu
> bestimmen, komme
> da aber schon zu nix erfreulichem.
>
> Es ist das charakteristische Polynom:
> [mm]\chi_{A}=(T-\mbox{cos}t)^{2}+\mbox{sin}^{2}t=T^{2}-2T\mbox{cos}t+1.[/mm]
Genau.
> Wie soll ich da aber Nullstellen ausrechnen. Ich kanns ja
> nur in Abhängigkeit von [mm]t[/mm] machen.
Das sollst du auch. Tipp: es sind konjugierte komplexe Zahlen vom Betrag $1$. Die sind alle von der Form [mm] $e^{i a}$ [/mm] mit $a [mm] \in \IR$; [/mm] das komplex Konjugierte davon ist [mm] $e^{-i a}$. [/mm] Du hast also $(T - [mm] e^{i a}) [/mm] (T - [mm] e^{-i a}) [/mm] = [mm] T^2 [/mm] - 2 T [mm] \cos [/mm] t + 1$.
> Aber dann schaffe ich es irgendwie nicht weiter, also die
> Berechnung
> der Dimension der [mm]Kerne.\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
Versuch erstmal die Eigenwerte richtig zu bestimmen.
Ausserdem hast du zwei Spezialfaelle: [mm] $e^{-i a} [/mm] = [mm] e^{i a} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$.
LG Felix
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