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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 09.06.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Induktion nach k:
Zeige folgende Formel für die k-te Potenz eines n [mm] \times [/mm] n . Jordanblocks
[mm] \pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^k [/mm] = [mm] \pmat{\lambda^k&k\lambda^{k-1}&\vektor{k \\ 2}\lambda^{k-2}&...&\vektor{k \\ n}\lambda^{k-n-1}\\&\lambda^k&k\lambda^{k-1} & \ddots&\vdots \\ && \lambda^k&\ddots&\vektor{k \\ 2}\lambda^{k-2} \\ &&&\ddots&k\lambda^{k-1} \\ &&&&\lambda^k} [/mm] |
Induktionnsanfang ist klar.
Angenommen wir haben es für k-1 gezeigt:
I.schritt: [mm] \pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^k [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^{k-1} *\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda} [/mm] =
[mm] \pmat{\lambda^{k-1}&(k-1)\lambda^{k-2}&\vektor{k-1 \\ 2}\lambda^{k-3}&...&\vektor{k-1 \\ n}\lambda^{k-n-2}\\&\lambda^{k-1}&(k-1)\lambda^{k-2} & \ddots&\vdots \\ && \lambda^{k-1}&\ddots&\vektor{k-1 \\ 2}\lambda^{k-3} \\ &&&\ddots&(k-1)\lambda^{k-2} \\ &&&&\lambda^{k-1}} *\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}
[/mm]
[mm] =\pmat {\lambda^k & \lambda^{k-1} +\lambda^{k-1} (k-1) & (k-1) * \lambda^{k-2} + \lambda^{k-2} \vektor{k-1\\ 2} &..&\vektor{k-1\\ n}\lambda^{k-n-1} + \vektor{k-1\\ n-1} \lambda^{k-n-1}\\ 0&\lambda^k&\lambda^{k-1} + (k-1)\lambda^{k-1}&\ddots&\cdots\\0&0&\lambda^k&\ddots&\vdots\\0&0&0&\ddots&(k-1)\lambda^{k-1} + \lambda^{k-1} \\ 0&0&0&0&\lambda^k}
[/mm]
[mm] =\pmat {\lambda^k & k\lambda^{k-1}& (k-1) * \lambda^{k-2} + \lambda^{k-2} \vektor{k-1\\ 2} &..&\vektor{k-1\\ n}\lambda^{k-n-1} + \vektor{k-1\\ n-1} \lambda^{k-n-1}\\ 0&\lambda^k&k \lambda^{k-1}&\ddots&\cdots\\0&0&\lambda^k&\ddots&\vdots\\0&0&0&\ddots&(k \lambda^{k-1} \\ 0&0&0&0&\lambda^k}
[/mm]
Das die Diagonale und Nebendiagonle stimmen ist ersiichtlich.
Aber wie zeige ich das für die anderen oberen Diagonalen allgemein??
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Hallo quasimo,
> Induktion nach k:
> Zeige folgende Formel für die k-te Potenz eines n [mm]\times[/mm]
> n . Jordanblocks
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> [mm]\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^k[/mm]
> = [mm]\pmat{\lambda^k&k\lambda^{k-1}&\vektor{k \\ 2}\lambda^{k-2}&...&\vektor{k \\ n}\lambda^{k-n-1}\\&\lambda^k&k\lambda^{k-1} & \ddots&\vdots \\ && \lambda^k&\ddots&\vektor{k \\ 2}\lambda^{k-2} \\ &&&\ddots&k\lambda^{k-1} \\ &&&&\lambda^k}[/mm]
>
> Induktionnsanfang ist klar.
> Angenommen wir haben es für k-1 gezeigt:
> I.schritt: [mm]\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^k[/mm]
> = [mm]\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}^{k-1} *\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}[/mm]
> =
> [mm]\pmat{\lambda^{k-1}&(k-1)\lambda^{k-2}&\vektor{k-1 \\ 2}\lambda^{k-3}&...&\vektor{k-1 \\ n}\lambda^{k-n-2}\\&\lambda^{k-1}&(k-1)\lambda^{k-2} & \ddots&\vdots \\ && \lambda^{k-1}&\ddots&\vektor{k-1 \\ 2}\lambda^{k-3} \\ &&&\ddots&(k-1)\lambda^{k-2} \\ &&&&\lambda^{k-1}} *\pmat{ \lambda & 1&& \\ & \lambda &\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda}[/mm]
>
> [mm]=\pmat {\lambda^k & \lambda^{k-1} +\lambda^{k-1} (k-1) & (k-1) * \lambda^{k-2} + \lambda^{k-2} \vektor{k-1\\ 2} &..&\vektor{k-1\\ n}\lambda^{k-n-1} + \vektor{k-1\\ n-1} \lambda^{k-n-1}\\ 0&\lambda^k&\lambda^{k-1} + (k-1)\lambda^{k-1}&\ddots&\cdots\\0&0&\lambda^k&\ddots&\vdots\\0&0&0&\ddots&(k-1)\lambda^{k-1} + \lambda^{k-1} \\ 0&0&0&0&\lambda^k}[/mm]
>
> [mm]=\pmat {\lambda^k & k\lambda^{k-1}& (k-1) * \lambda^{k-2} + \lambda^{k-2} \vektor{k-1\\ 2} &..&\vektor{k-1\\ n}\lambda^{k-n-1} + \vektor{k-1\\ n-1} \lambda^{k-n-1}\\ 0&\lambda^k&k \lambda^{k-1}&\ddots&\cdots\\0&0&\lambda^k&\ddots&\vdots\\0&0&0&\ddots&(k \lambda^{k-1} \\ 0&0&0&0&\lambda^k}[/mm]
>
> Das die Diagonale und Nebendiagonle stimmen ist
> ersiichtlich.
> Aber wie zeige ich das für die anderen oberen Diagonalen
> allgemein??
Nun, dann muss Du zeigen, daß
[mm]\pmat{k-1 \\ n-1}+\pmat{k-1 \\ n}=\pmat{k \\ n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 09.06.2012 | | Autor: | quasimo |
> $ [mm] \pmat{k-1 \\ n-1}+\pmat{k-1 \\ n}=\pmat{k \\ n} [/mm] $
Wenn ich das zeige genügt das für die Gültigkeit aller?
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Hallo quasimo,
> > [mm]\pmat{k-1 \\ n-1}+\pmat{k-1 \\ n}=\pmat{k \\ n}[/mm]
> Wenn ich
> das zeige genügt das für die Gültigkeit aller?
Ja.
Gruss
MathePower
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