Jordankurve < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 08.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei a > 0.
Für r > 0 sei C(r) das Rechteck mit den Ecken -r, r, r+ia, und -r+ia.
Zeigen Sie durch Angabe von Parametrisierungen der Rechtecksseiten, dass C(r) eine stückweise glatte geschlossene Jordankurve ist. |
Hallo!
Habe das Rechteck zunächst gezeichnet und die Seiten wie folgt parametrisiert:
$ [mm] \gamma_1(t)=\pmat{ - r + t*2r \\ 0 } [/mm] \ \ \ [mm] 0\le t\le1 [/mm] $
$ [mm] \gamma_2(t)=\pmat{ - r + t*2r \\ ia } [/mm] \ \ \ [mm] 0\le t\le1 [/mm] $
$ [mm] \gamma_3(t)=\pmat{ r \\ t*ia } [/mm] \ \ \ [mm] 0\le t\le1 [/mm] $
$ [mm] \gamma_4(t)=\pmat{ - r \\ t*ia } [/mm] \ \ \ [mm] 0\le t\le1 [/mm] $
So korrekt?
Damit C(r) stückweise glatt ist, muss gelten [mm] \gamma_i'(t)\not=0 [/mm] für i=1,...,4. Das lässt sich ja leicht nachrechnen. Sehe ich das richtig?
Wie zeige ich jetzt, dass C(r) eine geschlossene Jordankurve ist?
Müssen die [mm] \gamma_i(t) [/mm] dann injektiv sein auf [0,1)?
Und es muss ja für eine geschlossene Jordankurve [mm] \gamma [/mm] auf dem Intervall [a,b] gelten: [mm] \gamma(a)=\gamma(b).
[/mm]
Mit meinen [mm] \gamma_i [/mm] bekomme ich die letzte Bedingung schonmal nicht hin.
Was mache ich falsch?
Vielen Dank und lieben Gruß!
chesn
|
|
| |
|
> Sei a > 0.
> Für r > 0 sei C(r) das Rechteck mit den Ecken -r, r,
> r+ia, und -r+ia.
>
> Zeigen Sie durch Angabe von Parametrisierungen der
> Rechtecksseiten, dass C(r) eine stückweise glatte
> geschlossene Jordankurve ist.
> Hallo!
>
> Habe das Rechteck zunächst gezeichnet und die Seiten wie
> folgt parametrisiert:
>
> [mm]\gamma_1(t)=\pmat{ - r + t*2r \\ 0 } \ \ \ 0\le t\le1[/mm]
>
> [mm]\gamma_2(t)=\pmat{ - r + t*2r \\ ia } \ \ \ 0\le t\le1[/mm]
>
> [mm]\gamma_3(t)=\pmat{ r \\ t*ia } \ \ \ 0\le t\le1[/mm]
>
> [mm]\gamma_4(t)=\pmat{ - r \\ t*ia } \ \ \ 0\le t\le1[/mm]
>
> So korrekt?
>
> Damit C(r) stückweise glatt ist, muss gelten
> [mm]\gamma_i'(t)\not=0[/mm] für i=1,...,4. Das lässt sich ja
> leicht nachrechnen. Sehe ich das richtig?
>
> Wie zeige ich jetzt, dass C(r) eine geschlossene
> Jordankurve ist?
> Müssen die [mm]\gamma_i(t)[/mm] dann injektiv sein auf [0,1)?
> Und es muss ja für eine geschlossene Jordankurve [mm]\gamma[/mm]
> auf dem Intervall [a,b] gelten: [mm]\gamma(a)=\gamma(b).[/mm]
> Mit meinen [mm]\gamma_i[/mm] bekomme ich die letzte Bedingung
> schonmal nicht hin.
> Was mache ich falsch?
>
> Vielen Dank und lieben Gruß!
> chesn
Hallo chesn,
damit du der originalen Definition der geschlossenen Jordankurve
gerecht wirst (dabei wird jeweils das Intervall [0 .. 1] als Defini-
tionsintervall für die gesamte Abbildung benützt), musst du nur
deine 4 separaten Parametrisierungen zu einer einzigen zusammen-
packen. Benütze also etwa die 4 Teilintervalle [0 .. 0.25] , [0.25 .. 0.5] ,
[0.5 .. 0.75] , [0.75 .. 1] für die einzelnen Rechtecksseiten.
Natürlich musst du die 4 Teilparametrisierungen in der richtigen
Reihenfolge und Orientierung aneinanderfügen, dass dann wirklich
ein Umlauf um das Rechteck dargestellt wird.
Da ist jeweils eine einfache Transformation erforderlich.
Eigentlich nur Schreibarbeit - denn dass das Ganze funktionieren
muss, liegt ja auch ohne jegliche Rechnerei schon absolut klar
auf der Hand.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 08.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Danke für deine Antwort, die hat schonmal zum Verständnis beigetragen.
Ich komme nur nicht darauf, wie ich alle vier Abbildungen zu einer zusammenfasse, wie du es beschreibst. Oder kann ich das ganze so oder ähnlich darstellen: ?
Mit
$ [mm] 0\le t_1 \le [/mm] 0.25, $
$ [mm] 0.25\le t_2 \le [/mm] 0.5, $
$ [mm] 0.5\le t_3\le [/mm] 0.75, $
$ [mm] 0.75\le t_4\le [/mm] 1 $
das Ganze einfach aneinander hängen:
[mm] C(r)=\pmat{-r \\ 0}+4*t_1*\pmat{2r\\0}+4*(t_2-\bruch{1}{4})*\pmat{0\\ia}+4*(t_3-\bruch{1}{2})*\pmat{-r\\0}+4*(t_4-\bruch{3}{4})*\pmat{0\\-ia}
[/mm]
Oder ist das Unfug?
Vielen Dank und lieben Gruß
chesn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Di 08.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Kann nochmal jemand drüber gucken und mir sagen wie ich nun zeige, dass es eine geschlossene Jordankurve ist?
Vielen Dank!
Lieben Gruß
chesn
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Danke für deine Antwort, die hat schonmal zum Verständnis
> beigetragen.
> Ich komme nur nicht darauf, wie ich alle vier Abbildungen
> zu einer zusammenfasse, wie du es beschreibst. Oder kann
> ich das ganze so oder ähnlich darstellen: ?
>
> Mit
> [mm]0\le t_1 \le 0.25,[/mm]
> [mm]0.25\le t_2 \le 0.5,[/mm]
> [mm]0.5\le t_3\le 0.75,[/mm]
>
> [mm]0.75\le t_4\le 1[/mm]
>
> das Ganze einfach aneinander hängen:
>
> [mm]C(r)=\pmat{-r \\ 0}+4*t_1*\pmat{2r\\0}+4*(t_2-\bruch{1}{4})*\pmat{0\\ia}+4*(t_3-\bruch{1}{2})*\pmat{-r\\0}+4*(t_4-\bruch{3}{4})*\pmat{0\\-ia}[/mm]
>
> Oder ist das Unfug?
>
>
> Vielen Dank und lieben Gruß
> chesn
Wir brauchen nur einen reellen Parameter t, der von 0 bis 1
läuft. Nur die Definition muss zerstückelt werden:
C(t) := [mm] \begin{cases} -r+t*8\,r & (0\le t\le 1/4) \\ r+(t-1/4)*4\,a*i & (1/4\le t\le 1/2)
\\ r+a*i-(t-1/2)*8\,r & (1/2\le t\le 3/4)\\ -r+a*i-(t-3/4)*4\,a*i & (3/4\le t\le 1) \end{cases}
[/mm]
Ich hoffe, dass ich dies jetzt einigermaßen fehlerfrei notiert
habe. Es ließe sich aber jetzt noch etwas vereinfachen.
Zu zeigen wäre natürlich jetzt noch die Stetigkeit der
4 Teilkurven sowie die Stetigkeit an den Nahtstellen
sowie die Eigenschaft der Geschlossenheit: C(0)=C(1) .
Für eine Jordankurve ist außerdem Injektivität gefordert -
man soll also zeigen, dass jeder Kurvenpunkt (außer der
für t=0 und t=1) seinen t-Wert im Intervall (0..1) eindeutig
bestimmt.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
