Jordanmaß / jordanmessbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
könnt ihr mir helfen? Ich verstehe einfach nicht, was die Begriffe Jordanmaß und jordanmessbar bedeuten. Wann hat eine Teilmenge das n-dim. Jordanmaß 0? In der Def. steht da jetzt irgendwas von Teilmengen und eine Summe über irgendwas, die kleiner als Epsilon sein muss...
Und zu jordanmessbar steht hier, dass der Rand das Jordanmaß 0 haben muss.
Versteh ich beides nicht. letzteres wohl auch, weil ich ersteren nicht raffe
hat hier jemand den durchblick?
liebe Grüße,
Stephan
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/6796,0.html
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Grüße!
Um Dir die Begriffe erläutern zu können, wäre es hilfreich, die genauen Definitionen von Dir so wie ihr sie in der Vorlesung hattet oder sie in Deiner Quelle stehen zu erhalten - dann können wir versuchen, diese abstrakten Gebilde mit Sinn zu füllen.
Ich muß nämlich gestehen, dass mir das Jordanmaß bislang noch nicht begegnet ist...
Lars
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Hallo,
die Begriffe wurden bei und wie folgt definiert:
[Externes Bild http://stephan.mestrona.net/dateien/jordanmessbar.jpg]
liebe Grüße,
Stephan
PS: Hab leider erst heute eine Benachrichtigungsemail über eure Antworten erhalten :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stephan!
Also habt ihr "Jordan-messbar" so definiert, wie ich es in 2) als äquivalente Bedingung charakterisiert habe.
Okay, damit stimmen die Begriffe überein. 
Aber wie habt ihr denn formal das Jordan-Maß definiert? Ich sehe nur die Definition von Jordan-Nullmenge, wo das Jordan-Maß schon benutzt wird.
Liebe Grüße
Stefan
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Das ist die erste Definition in dem irgendwas mit "Jordan" auftaucht (Naja, vorher kam schonmal Jordankurve - aber das ist ja was ganz anderes).
Was bedeutet die Summe in der Def. ? Geht es dort wieder darum, dass etwas unendlich klein zerstückeln werden kann, damit man integrieren darf?
liebe Grüße,
Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stephan!
Okay, dann ist es wirklich so, wie ich es schon geahnt hatte. Ihr hattet offenbar das Lebesgue-Maß noch nicht. Daher könnt ihr nicht einfach sagen: Eine Jordan-Nullmenge ist eine kompakte Lebesgue-Nullmenge, sondern müsst es noch einmal definieren (so wie man eine kompakte Lebesgue-Nullmenge definieren kann).
Meine Erklärung bleibt aber bestehen: Kann man also eine Menge mit endlich vielen kompakten Quadern so überdecken, dass die Summe der Teilvolumina der Quader (als obere Schranke für das Volumen der Vereinigung der Quader) beliebig klein ist, dann nennt man die Menge nach eurer Definition eine Jordan-Nullmenge.
Was ist daran jetzt noch unklar?
Liebe Grüße
Stefan
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Kann man also eine Menge mit endlich vielen kompakten Quadern so überdecken, dass die Summe der Teilvolumina der Quader (als obere Schranke für das Volumen der Vereinigung der Quader) beliebig klein ist, dann nennt man die Menge nach eurer Definition eine Jordan-Nullmenge.
Müsste die Summe der Teilvolumina nicht das Gesamtvolumen ergeben? Wenn das Null ist, müsste die Menge doch Leer sein?
Hast du ein Gegenbeispiel, für eine Menge, die nicht jordanmeßbar ist?
Liebe Grüße,
Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Di 12.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stephan
darf ich mich auch noch einmischen, um von einer ganz amateurhaften Warte auch noch etwas dazu zu sagen?
Entweder verwirre ich noch ganz, oder mein amateurhaftes, einfaches Denken bringt doch noch etwas Licht ins Dunkle.
Ich habe die Diskussion mal kurz überschlagen, überhaupt nichts kapiert, und doch die Nase immer zu vorderst!
> Kann man also eine Menge mit endlich vielen kompakten
> Quadern so überdecken, dass die Summe der Teilvolumina der
> Quader (als obere Schranke für das Volumen der Vereinigung
> der Quader) beliebig klein ist, dann nennt man die Menge
> nach eurer Definition eine Jordan-Nullmenge.
> Müsste die Summe der Teilvolumina nicht das Gesamtvolumen
> ergeben? Wenn das Null ist, müsste die Menge doch Leer
> sein?
Hier würde ich sagen: Die Summe sollte tatsächlich das Gesamtvolumen ergeben.
Aber dass die Menge dann leer sein muss, kann ich nicht nachvollziehen! Ich begebe mich einmal in den [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] und fülle einen beliebigen, endlichen Quader mit $1000$ isolierten Punkten (sieht dann aus wie Nebel). Diese Punkte kannst du jetzt mit Quadern überdecken. Jeden einzelnen Quader, der einen isolierten Punkt enthält, kannst du beliebig klein machen. Im Grenzfall hast du dann $1000$ Quaderlein, deren Volumen einzeln jedes beliebig klein sein kann. Die Summe davon ist es dann wohl auch, nämlich beliebig klein! Der Nebel hat also das Jordanmass $0$, ist jordan-messbar und ist keine leere Menge.
> Hast du ein Gegenbeispiel, für eine Menge, die nicht
> jordanmeßbar ist?
Ich denke, da muss mich Stefan aber gehörig bestätigen oder schelten, dass man vielleicht im 2-dimensionale ein solches Beispiel machen könnte:
Nimm die Folgende Funktion $[0,1] [mm] \to \mathbb{R}$
[/mm]
$f(x)=2$ für rationale $x$
$f(x)=1$ für irrationale $x$
Das sieht dann aus wie eine Treppenfunktion (mit ziehmlich schmalen Treppenstufen). Wenn du versuchst, einen Rand um die Fläche zu zeichenen (also um den Grafen der Funktion): Strecke von (0,2) bis (0,0), Strecke von (0,0) bis (1,0) und Strecke von (1,0) bis (1,2), und dann eben noch die Treppe darüber, so wird dein Rand das "obere Quadrat" im Grafen vollständig zudecken, womit eben der Rand nicht mehr das (2-dimensionale) Jordanmass $0$ aufweist. Somit ist die Fläche eben nicht Jordan-messbar.
> Liebe Grüße,
> Stephan
So, Stephan, jetzt erwarte ich eine deftige Schelte von Stefan! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
> Hier würde ich sagen: Die Summe sollte tatsächlich das
> Gesamtvolumen ergeben.
Nein, es wurde ja in Stephans Definition nicht gesagt, dass die Quader disjunkt sind. Daher ist es nur eine obere Schranke für das Gesamtvolumen.
> Der Nebel hat also das Jordanmass [mm]0[/mm], ist
> jordan-messbar und ist keine leere Menge.
Das Beispiel ist korrekt. Du hast eine nichtleere kompakte Lebesgue-Nullmenge (und daher eine Jordan-Nullmenge) konstruiert.
> > Hast du ein Gegenbeispiel, für eine Menge, die nicht
> > jordanmeßbar ist?
>
> Ich denke, da muss mich Stefan aber gehörig bestätigen oder
> schelten, dass man vielleicht im 2-dimensionale ein solches
> Beispiel machen könnte:
>
> Nimm die Folgende Funktion [mm][0,1] \to \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]f(x)=2[/mm] für rationale [mm]x[/mm]
> [mm]f(x)=1[/mm] für irrationale [mm]x[/mm]
>
> Das sieht dann aus wie eine Treppenfunktion (mit ziehmlich
> schmalen Treppenstufen). Wenn du versuchst, einen Rand um
> die Fläche zu zeichenen (also um den Grafen der Funktion):
> Strecke von (0,2) bis (0,0), Strecke von (0,0) bis (1,0)
> und Strecke von (1,0) bis (1,2), und dann eben noch die
> Treppe darüber, so wird dein Rand das "obere Quadrat" im
> Grafen vollständig zudecken, womit eben der Rand nicht mehr
> das (2-dimensionale) Jordanmass [mm]0[/mm] aufweist. Somit ist die
> Fläche eben nicht Jordan-messbar.
Gott, das Beispiel ist zu kompliziert für mein schlichtes Gemüt. Aber es scheint mir richtig zu sein.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi.
Ein sehr einfaches Beispiel für eine (beschränkte) Menge, die nicht Jordan-messbar ist, ist zum Beispiel [mm] $\mathbb{Q}\cap [/mm] [0,1]$, denn ihr Rand ist das gesamte Intervall [0,1], welches das Jordanmaß b-a hat und damit keine Jordannullmenge ist.
Außerdem ist jede unbeschränkte Menge nicht Jordan-messbar.
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
> Ein sehr einfaches Beispiel für eine (beschränkte) Menge,
> die nicht Jordan-messbar ist, ist zum Beispiel
> [mm]\mathbb{Q}\cap [0,1][/mm], denn ihr Rand ist das gesamte
> Intervall [0,1], welches das Jordanmaß b-a hat und damit
> keine Jordannullmenge ist.
Ja, klar, das Beispiel hatte ich ja schon im anderen Zusammenhang hier angegeben.
Es ist also insbesondere nicht jede Lebesgue-Nullmenge auch eine (Jordan-messbare) Jordan-Nullmenge.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Di 12.10.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Stimmt, hatte ich nicht gesehen, sorry.
Was mich etwas erstaunt, ist, dass im Skript von Powersteffler bei der Definition der Jordanmessbarkeit die Forderung nach Beschränktheit der Menge fehlt.
So wäre nach dieser Definition [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] Jordan-messbar, da der Rand die leere Menge und damit natürlich eine Nullmenge ist, oder sehe ich das falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 12.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
das Zeichen [mm] $\subset$ [/mm] wird meines Wissens nicht einheitlich interpretiert.
Wenn der Professor darunter eine echte Teilmenge versteht, im Gegebsatz zu [mm] $\subseteq$, [/mm] wäre dann nicht wieder alles konsistent?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 12.10.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi Paulus.
Nein, das hilft leider nicht, denn dann betrachtet man stattdessen halt
die Menge [mm] $\mathbb{R}^n-\{0\}$. [/mm] Sie erfüllt die Bedingungen der Definition in diesem Skript (wenn man [mm] $\subset$ [/mm] als [mm] $\subsetneqq$ [/mm] deutet), da ihr Rand gerade {0} und damit eine Nullmenge ist und sie offensichtlich eine echte Teilmenge von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ist, aber beschränkt ist sie trotzdem nicht und damit nach unserem Verständnis auch nicht Jordan-messbar.
stefan: Auch ich kenne das Jordanmaß nur für beschränkte Mengen, nämlich als R-Integral der charakteristischen Funktion und da Riemannintegrale ja sowieso nur für beschränkte Bereiche definiert sind, lässt sich diese Definition für unbeschränkte Mengen gar nicht vornehmen. Keine Ahnung, was der Dozent hier bezweckt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Di 12.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Philipp
> Hi Paulus.
> Nein, das hilft leider nicht, denn dann betrachtet man
> stattdessen halt
> die Menge [mm]\mathbb{R}^n-\{0\}[/mm]. Sie erfüllt die Bedingungen
> der Definition in diesem Skript (wenn man [mm]\subset[/mm] als
> [mm]\subsetneqq[/mm] deutet), da ihr Rand gerade {0} und damit eine
> Nullmenge ist und sie offensichtlich eine echte Teilmenge
> von [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ist, aber beschränkt ist sie trotzdem
> nicht und damit nach unserem Verständnis auch nicht
> Jordan-messbar.
>
Vielen Dank für die Aufklärung!
Ich Depp hätte da ja auch selber draufkommen können! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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danke, das hat mich schon ein stück weitergebracht. Ist ja en dufte Forum hier.
Grüße,
Stephan
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In meinem Funktionalanalysis-Buch (Werner) ist der Jordansche Inhalt wie folgt definiert:
[mm]m(A) = \inf \biggl\{ \sum_{i=1}^n |I_i| : A\subseteq \bigcup_{i=1}^n I_i\;, n\in\mathbf{N} \biggr\}\;.[/mm]
Dabei sind die I's Intervalle und |I| die Länge eines Intervalls.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Powersteffler!
Zunächst: Eine ausführliche Darstellung der Begrifflichkeiten findet man z.B. im Buch "Analysis II" von Walter (Springer-Verlag).
Eine Menge $A [mm] \subset \IR^n$ [/mm] heißt Jordan-messbar, wenn $A$ beschränkt und
[mm] $\sup\{\lambda^n(M)\, :\, M \in {\cal F}^n,\, M \subset A\} [/mm] = [mm] \inf\{\lambda^n(N)\, :\,N \in {\cal F}^n,\, N \supset A\}$
[/mm]
ist, wobei [mm] ${\cal F}^n$ [/mm] wie üblich die Menge aller endlicher Vereinigungen disjunkter rechtshalboffener Quader des [mm] $\IR^n$ [/mm] bezeichnet.
Für Jordan-messbares $A$ heißt
[mm] $\iota^n(A):= \sup \{\lambda^n(M)\, :\, M \in {\cal F}^n,\, M \subset A\}$
[/mm]
das Jordan-Maß von $A$.
Diese Begriffe sind benannte nach dem französischen Mathematiker C. Jordan. Er entwickelte (undabhängig von Peano) eine Inhaltslehre für Teilmengen des [mm] $\IR^n$ [/mm] und einen Integralbegriff, der dem Riemannschen Integralbegriff ähnlich ist.
Man kann zeigen:
1) Ist $A$ Jordan-messbar, so ist $A$ Lebesgue-messbar, und es gilt: [mm] $\lambda^n(A) [/mm] = [mm] \iota^n(A)$.
[/mm]
2) Eine Menge $A [mm] \subset \IR^n$ [/mm] ist genau dann Jordan-messbar, wenn $A$ beschränkt und der Rand von $A$ eine Jordan-Nullmenge (also eine Jordan-messbare Menge mit verschwindendem Jordan-Maß) ist.
Vorsicht:
Die Menge [mm] $\IQ^n \cap [0,1]^n$ [/mm] zum Beispiel ist eine beschränkte Lebesgue-Nullmenge, aber keine Jordan-Nullmenge.
Witzig auch die geometrische Interpretation als Flächeninhalt unter dem Graphen:
Es seien $f:[a,b] [mm] \to \IR$, [/mm] $f [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] ${\cal O}(f):=\{(x,y) \in \IR^2\, : \, x \in [a,b],\, 0 \le y \le f(x)\}$
[/mm]
die Ordinatenmenge. Dann ist $f$ Riemann-integrierbar genau dann, wenn [mm] ${\cal O}(f)$ [/mm] Jordan-messbar ist, und in diesem Fall gilt:
[mm] $\int\limits_a^b f(x)\, [/mm] dx = [mm] \iota^2({\cal O}(f))$.
[/mm]
Es gibt noch viel, viel mehr Aussagen, aber ich habe jetzt keine Lust mehr alle hinzuschreiben. Für eine erste Einschätzung sollte es reichen.
Liebe Grüße
Stefan
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@stefan: Ich denke, deine Definition ist so nicht ganz richtig. Du schriebst zu [mm]\mathcal{F}^n[/mm]: "die Menge aller disjunkten rechtshalboffenen Quader des [mm]\mathbf{R}^n[/mm]". Ich würde sagen, es ist "die Menge aller endlichen (disjunkten) Vereinigungen (rechtshalboffener) Quader des [mm]\mathbf{R}^n[/mm]". Die Ausdrücke in Klammern können für das Jordan-Maß IMHO auch weggelassen werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:18 Di 12.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> @stefan: Ich denke, deine Definition ist so nicht ganz
> richtig. Du schriebst zu [mm]\mathcal{F}^n[/mm]: "die Menge aller
> disjunkten rechtshalboffenen Quader des [mm]\mathbf{R}^n[/mm]". Ich
> würde sagen, es ist "die Menge aller endlichen (disjunkten)
> Vereinigungen (rechtshalboffener) Quader des [mm]\mathbf{R}^n[/mm]".
> Die Ausdrücke in Klammern können für das Jordan-Maß IMHO
> auch weggelassen werden.
Ist klar, war ein Tippfehler. Ich verbessere es. Danke für den Hinweis.
Liebe Grüße
Stefan
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