Jordannormalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die JNF [mm] J_{A} [/mm] von [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -1 & -1 \\ 3 & -3 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 2} [/mm] , sowie eine Matrix S mit [mm] S^{-1}AS=J_{A} [/mm] |
Ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme, denn meine Matrix S wandelt A nicht in JNF um und ich weiß nicht wo mein Fehler ist. Meine Rechnung:
Das charakteristische Polynom lautet [mm] P_{A}(x)=(x-1)(x-2)^_{4} [/mm] also sind [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] die Eigenwerte.
Das Minimalpolynom ist gleich dem charakteristischen Polynom: [mm] \mu_{A}(x)=P_{A}(x), [/mm] also muss das größte Jordankästchen zum Eigenwert 2 ein 4x4-Kästchen sein und [mm] J_{A}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2} [/mm]
Dann habe ich den Eigenraum zu [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] berechnet:
[mm] Eig(A,1)=Span(\vektor{1\\0\\0\\2\\1})
[/mm]
Außerdem habe ich berechnet:
(A-2E) ; [mm] (A-2E)^{2}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0} [/mm] ; [mm] (A-2E)^{3}=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0} [/mm] ; [mm] (A-2E)^{4}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
jetzt hab ich den zweiten Einheitsvektor [mm] e_{2} [/mm] als ersten meiner Jordanbasis gewählt, da [mm] e_{2}\in Ker(A-2E)^4\backslash Ker(A-2E)^3.
[/mm]
Die anderen Vektoren meiner Jordanbasis habe ich erhalten indem ich [mm] (A-2E)*e_{2},(A-2E)^{2}*e_{2},(A-2E){3}*e_{2} [/mm] berechne dann ergibt sich, mit dem Eigenvektor zu 1,
[mm] S=\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0}
[/mm]
aber diese Matrix und ihr Inverses bringen A nicht auf JNF, was habe ich falsch gemacht? Für Hilfe bin ich dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:28 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme die JNF [mm]J_{A}[/mm] von [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -1 & -1 \\ 3 & -3 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 2}[/mm]
> , sowie eine Matrix S mit [mm]S^{-1}AS=J_{A}[/mm]
> Ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme, denn meine
> Matrix S wandelt A nicht in JNF um und ich weiß nicht wo
> mein Fehler ist. Meine Rechnung:
> Das charakteristische Polynom lautet
> [mm]P_{A}(x)=(x-1)(x-2)^{4}[/mm] also sind [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=2[/mm] die Eigenwerte.
> Das Minimalpolynom ist gleich dem charakteristischen
> Polynom: [mm]\mu_{A}(x)=P_{A}(x),[/mm] also muss das größte
> Jordankästchen zum Eigenwert 2 ein 4x4-Kästchen sein und
> [mm]J_{A}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
> Dann habe ich den Eigenraum zu [mm]\lambda_{1}=1[/mm] berechnet:
> [mm]Eig(A,1)=Span(\vektor{1\\0\\0\\2\\1})[/mm]
> Außerdem habe ich berechnet:
> (A-2E) ; [mm](A-2E)^{2}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> ; [mm](A-2E)^{3}=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> ; [mm](A-2E)^{4}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Ich vertraue mal darauf das deine Rechnungen bisher stimmen.
> jetzt hab ich den zweiten Einheitsvektor [mm]e_{2}[/mm] als ersten
> meiner Jordanbasis gewählt, da [mm]e_{2}\in Ker(A-2E)^4\backslash Ker(A-2E)^3.[/mm]
Nun, [mm] $e_2$ [/mm] liegt doch gar nicht in [mm] $\ker(A [/mm] - 2 [mm] E)^4$? [/mm] Du meinst eher den Vektor [mm] $e_1 [/mm] + [mm] e_2$, [/mm] denn der liegt wirklich in [mm] $\ker(A [/mm] - 2 [mm] E)^4 \setminus \ker(A [/mm] - 2 [mm] E)^3$.
[/mm]
> Die anderen Vektoren meiner Jordanbasis habe ich erhalten
> indem ich [mm](A-2E)*e_{2},(A-2E)^{2}*e_{2},(A-2E)^{3}*e_{2}[/mm]
Hier musst du [mm] $e_2$ [/mm] durch [mm] $e_1 [/mm] + [mm] e_2$ [/mm] ersetzen.
> berechne dann ergibt sich, mit dem Eigenvektor zu 1,
> [mm]S=\pmat{ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0}[/mm]
Bist du sicher, dass dein Eigenvektor zum Eigenwert 1 stimmt? Wenn ich ihn an $A$ dranmultipliziere, erhalte ich [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 10 \\ 1 }$, [/mm] was nicht ganz [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 }$ [/mm] ergibt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Der Eigenvektor zu 1 ist tatsächlich falsch, ich habe ein minus vergessen, der richtige lautet: [mm] v_{1}=\vector{1\\0\\0\\-2\\1}.
[/mm]
Anschließend hab ich nochmal die Matrix S mit [mm] e_{1}+e_{2} [/mm] als ersten Vektor berechnet, allerdings komme ich auch hier auf ein falsches Ergebnis. Ich glaube ich habe [mm] (A-2E)^{3} [/mm] oder eine andere Potenz falsch berechnet. Danke trotzdem.
|
|
|
| |
|
der Vektor muss [mm] v_{1}= \vektor{1\\0\\0\\-2\\1} [/mm] heißen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 03.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab das grad mit MAPLE mal durchgerechnet.
> Bestimme die JNF [mm]J_{A}[/mm] von [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & -1 & -1 \\ 3 & -3 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 2}[/mm]
> , sowie eine Matrix S mit [mm]S^{-1}AS=J_{A}[/mm]
> Ich habe bei dieser Aufgabe einige Probleme, denn meine
> Matrix S wandelt A nicht in JNF um und ich weiß nicht wo
> mein Fehler ist. Meine Rechnung:
> Das charakteristische Polynom lautet
> [mm]P_{A}(x)=(x-1)(x-2)^_{4}[/mm] also sind [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=2[/mm] die Eigenwerte.
Ja.
> Das Minimalpolynom ist gleich dem charakteristischen
> Polynom: [mm]\mu_{A}(x)=P_{A}(x),[/mm]
Nein, das stimmt nicht: das Minimalpolynom ist $(x - 1) (x - [mm] 2)^3$. [/mm] Du hast also zwei Jordankaestchen zum Eigenwert 2, eins der Groesse 3 und eins der Groesse 1.
> Außerdem habe ich berechnet:
> (A-2E) ; [mm](A-2E)^{2}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Das stimmt.
> ; [mm](A-2E)^{3}=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Das hier stimmt nicht. Es kommt das raus, was du hier raus hast:
> ; [mm](A-2E)^{4}=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Damit du das ueberpruefen kannst, hier die Basen:
[mm] $\ker [/mm] (A - 2 [mm] E)^3 [/mm] = [mm] span\{ \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } \}$
[/mm]
[mm] $\ker [/mm] (A - 2 [mm] E)^2 [/mm] = [mm] span\{ \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } \}$
[/mm]
[mm] $\ker [/mm] (A - 2 [mm] E)^1 [/mm] = [mm] span\{ \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } \}$
[/mm]
Und der Eigenvektor [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 }$ [/mm] zum Eigenwert 1 stimmt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke, hab grad alles ausgebessert. Jetzt klappt's.
|
|
|
|
