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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Jordannormalform
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Jordannormalform: Aufgabenkontrolle
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:06 So 09.05.2010
Autor: Ultio

Aufgabe
Eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] habe das charakteristische Polynom [mm] (x-1)^7 [/mm] und das Minimalpolynom [mm] (x-1)^4. [/mm] Welche Jordannormalform kann [mm] \alpha [/mm] haben?

Hey an alle,
habe mich mal kurz rangesetzt an die Aufgabe und war erstaunt, so schnell eine Lösung gefunden zu haben (jedenfalls der Glaube daran).
Kann mir mal bitte jemand sagen, ob es richtig ist? Wenn nicht, gebt mir bitte einen Tipp, wie ich das lösen kann.
Dankeschön im Voraus.

Lösung(?):
[mm] charpol(\alpha) [/mm] = [mm] (x-1)^7 [/mm]
[mm] minpol_{\alpha}(x) [/mm] = [mm] (x-1)^4 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] A_1:4 [/mm] x 4 mit [mm] m_{A_1} (x)=(x-1)^4 [/mm]
[mm] A_2:2 [/mm] x 2 mit [mm] m_{A_2} (x)=(x-1)^2 [/mm]
[mm] A_3:1 [/mm] x 1 mit [mm] m_{A_3} [/mm] (x)=(x-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] kanonisch rationale Form:
[mm] A=\pmat{ 0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&4&0&0&0\\0&1&0&-6&0&0&0\\0&0&1&4&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1&2&0\\0&0&0&0&0&0&1 } [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Jordansche Normalform
[mm] A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 } [/mm]

Gruß
Felix

        
Bezug
Jordannormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 So 09.05.2010
Autor: nooschi


>  [mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 }[/mm]


meiner meinung nach geht auch folgendes:
[mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&1&1 }[/mm] und [mm]A=\pmat{ 1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1 }[/mm]

(4 ist einfach der Nilpotenzindex des einzigen EW 1, also die Länge des grössten Jordanblockes, und 7 die Länge der ganzen Matrix. zudem können die Reihenfolgen der Blöcke noch anders sein. kann aber auch sein dass ich mich irre, habs grad nimma soo genau im kopf)

Bezug
                
Bezug
Jordannormalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 So 09.05.2010
Autor: Ultio

wie haben gelernt bis auf Permutation der Blöcke eindeutig bestimmt.
Gruß

Bezug
                        
Bezug
Jordannormalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:38 So 09.05.2010
Autor: nooschi

äh, soviel ich weiss nicht ganz korrekt: die Jordannormalform EINER MATRIX ist bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmt. Du hast aber weniger Angaben, nur das Minimal- und Charakteristische Polynom.

Bezug
        
Bezug
Jordannormalform: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 12.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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