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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe ein kleines Problem bezüglich der Jordannormalform.
z.B. Nehmen wir die Matrix [mm] \pmat{0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&2}.
[/mm]
Die Eigenwerte berechnen sich schnell zu -1 (einfach) und 1 (doppelt).
Der Eigenraum zu -1 ist [mm] <\vektor{0\\1\\0}>.
[/mm]
Der Eigenraum zu 1 ist [mm] <\vektor{1\\0\\-1}>.
[/mm]
Der 1. Hauptraum zu 1 ist [mm] <\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\0\\1}>.
[/mm]
Wie wähle ich jetzt hieraus meine Transformationsmatrix, damit auch wirklich als Jordannormalform [mm] \pmat{-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1} [/mm] herauskommt?
Mir ist klar, dass sowohl [mm] \pmat{0&-1&0\\1&0&0\\0&1&1} [/mm] als auch [mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&-1&-1} [/mm] als Transformationsmatrizen taugen. Aber wie komme ich drauf, dass nicht z.B. [mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&-1&1} [/mm] oder [mm] \pmat{0&-1&0\\1&0&0\\0&1&-1} [/mm] funktionieren?
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> Hi!
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> Ich habe ein kleines Problem bezüglich der
> Jordannormalform.
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> z.B. Nehmen wir die Matrix [mm]\pmat{0&0&-1\\
0&-1&0\\
1&0&2}.[/mm]
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> Die Eigenwerte berechnen sich schnell zu -1 (einfach) und 1
> (doppelt).
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> Der Eigenraum zu -1 ist [mm]<\vektor{0\\
1\\
0}>.[/mm]
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> Der Eigenraum zu 1 ist [mm]<\vektor{1\\
0\\
-1}>.[/mm]
>
> Der 1. Hauptraum zu 1 ist
> [mm]<\vektor{1\\
0\\
0},\vektor{0\\
0\\
1}>.[/mm]
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> Wie wähle ich jetzt hieraus meine Transformationsmatrix,
> damit auch wirklich als Jordannormalform
> [mm]\pmat{-1&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1}[/mm] herauskommt?
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> Mir ist klar, dass sowohl [mm]\pmat{0&-1&0\\
1&0&0\\
0&1&1}[/mm] als
> auch [mm]\pmat{0&1&0\\
1&0&0\\
0&-1&-1}[/mm] als
> Transformationsmatrizen taugen. Aber wie komme ich drauf,
> dass nicht z.B. [mm]\pmat{0&1&0\\
1&0&0\\
0&-1&1}[/mm] oder
> [mm]\pmat{0&-1&0\\
1&0&0\\
0&1&-1}[/mm] funktionieren?
Hallo,
wenn Du als dritten Basisvektor [mm] v_3 [/mm] den Vektor [mm] v_3:=\vektor{0\\0\\1} [/mm] wählst,
muß ja der zweite Basisvektor [mm] v_2 [/mm] so sein, daß [mm] Av_3=1*v_2+1*v_3 [/mm] gilt. (S. letzte Spalte der JNF).
Man muß also [mm] v_2 [/mm] so nehmen, daß [mm] (A-E)v_3=v_2 [/mm] gilt, hat also, wenn man [mm] v_3 [/mm] festgelegt hat, keine Auswahl.
Gruß v. Angela
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