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| Aufgabe | | Bestimme die JNF von [mm] A=\pmat{1&1&0&0&0\\0&2&0&0&0\\-1&2&1&-1&-1\\3&-3&1&3&1\\-1&1&0&0&2} [/mm] und eine Matrix S mit [mm] S^{-1}AS=J_{A}. [/mm] |
Ich versuche mich jetzt schon seit mehreren Tagen an dieser Aufgabe und jedesmal komme ich nicht weiter. Was ich bisher weiß:
Das charakteristische Polynom: [mm] P_{A}(x)=-(x-2)^4(x-1)
[/mm]
[mm] Eig(A,1)=Span(\vektor{1\\0\\0\\-2\\1})
[/mm]
[mm] Eig(A,2)=Span(\vektor{0\\0\\1\\0\\-1},\vektor{0\\0\\1\\-1\\0})
[/mm]
[mm] Ker(A-2E)^2=Ker(A-2E^3)=Span(\vektor{0\\0\\1\\0\\-1},\vektor{0\\0\\1\\-1\\0},e_{5})
[/mm]
Mein Problem ist, das egal wie ich weiterrechne die Matrix S nicht invertierbar ist, da immer irgendwo eine Nullzeile steht. Wo ist mein Fehler? Schonmal danke im vorraus.
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Hallo hannahmaontana,
> Bestimme die JNF von
> [mm]A=\pmat{1&1&0&0&0\\0&2&0&0&0\\-1&2&1&-1&-1\\3&-3&1&3&1\\-1&1&0&0&2}[/mm]
> und eine Matrix S mit [mm]S^{-1}AS=J_{A}.[/mm]
> Ich versuche mich jetzt schon seit mehreren Tagen an
> dieser Aufgabe und jedesmal komme ich nicht weiter. Was ich
> bisher weiß:
> Das charakteristische Polynom: [mm]P_{A}(x)=-(x-2)^4(x-1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]Eig(A,1)=Span(\vektor{1\\0\\0\\-2\\1})[/mm]
>
> [mm]Eig(A,2)=Span(\vektor{0\\0\\1\\0\\-1},\vektor{0\\0\\1\\-1\\0})[/mm]
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> [mm]Ker(A-2E)^2=Ker(A-2E^3)=Span(\vektor{0\\0\\1\\0\\-1},\vektor{0\\0\\1\\-1\\0},e_{5})[/mm]
>
> Mein Problem ist, das egal wie ich weiterrechne die Matrix
> S nicht invertierbar ist, da immer irgendwo eine Nullzeile
> steht. Wo ist mein Fehler? Schonmal danke im vorraus.
Nun jetzt mußt Du sogenannte Eigenvektoren 2. Stufe berechnen.
Es ist klar, daß die Eigenvektoren 1. Stufe
im Span der Eigenvektoren 2. Stufe liegen.
Wähle deshalb solche Eigenvektoren 2. Stufe,
die nicht im Span der Eigenvektoren 1. Stufe liegen.
Gruss
MathePower
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> Es ist klar, daß die Eigenvektoren 1. Stufe
> im Span der Eigenvektoren 2. Stufe liegen.
>
> Wähle deshalb solche Eigenvektoren 2. Stufe,
> die nicht im Span der Eigenvektoren 1. Stufe liegen.
>
Das ist mir schon klar; Nur erhalte ich trotz allem immer eine Nullzeile:
z.B ist [mm] e_{5}\in Ker(A-2E)^2\Eig(A-2E)
[/mm]
[mm] v_4 :=(A-2E)e_5 =\vektor{0\\0\\-1\\1\\0}
[/mm]
Die beiden sind für mein erstes Kästchen. Für das Zweite wähle ich nun eine Vektor [mm] v_3 [/mm] , der [mm] \in Ker(A-2E)^2\Eig(A-2E) [/mm] und linear unabhängig zu [mm] e_5 [/mm] ist zB [mm] e_4.
[/mm]
[mm] v_2 :=(A-2E)e_4
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] \pmat{\vektor{1\\0\\0\\-2\\1} \in Eig(A,1),&v_2,&v_3,&v_4,&e_5} [/mm] als Matrix schreibe ist die zweite Zeile ne Nullzeile und die Matrix nicht invertierbar.
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Hallo,
ich habe im Moment keine Lust, das alles nachzurechnen, aber bist Du Dir ganz sicher, daß Du Dich beim Multiplizieren der Matrizen nirgendwo vertan hast, daß also Deine Kerne wirklich stimmen?
Das solltest Du vielleicht nochmal überprüfen.
Gruß v. Angela
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