Jordansche Normalform < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 05.10.2010 | | Autor: | MatheNot |
| Aufgabe | | Bestimme eine Transformationsmatrix S, sodass [mm] S^{-1}AS=A' [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Matheraumler,
ich habe eine Frage zur Jordanschen Normalform. Ich habe eine Matrix A gegeben und die dazugehörige Matrix A' schon ausgerechnet. Nun will ich die Transformationsmatrix berechnen. Ich habe hier schon viel rumgeguckt und dabei den (sehr, sehr guten) Hinweis auf "Kochen mit Jordan" gefunden.
Dort steht nun zur Transformationsmatrix, dass man Kern(A-t*E) und Kern [mm] (A-t*E)^{2} [/mm] usw. ausrechnen soll bis zu der Potenz, ab der sich der Kern nicht mehr ändert. Dann soll man bei dieser Potenz (ich nenne sie p) anfangen und einen Vektor nehmen, der in [mm] Kern(A-t*E)^{p} [/mm] liegt, aber nicht in [mm] Kern(A-t*E)^{p-1}. [/mm] Den multipliziert man dann noch mit (A-t*E) bis [mm] (A-t*E)^{p-1} [/mm] und dann hat man den Anfang für die Basis, aus der die Transformationsmatrix gebildet wird. Das macht man dann mit den anderen WErten weiter.
Hier nun meine Frage:
Ich habe ausgerechnet (ist sicher richtig): Eigenwert 2, Matrix 4-dimensional.
Kern(A-2*E)=<vektor{1 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0};vektor{1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0};vektor{1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 1}
und
[mm] Kern(A-2*E)^{2}=\IR^{4}.
[/mm]
Welchen Vektor nehme ich jetzt außer [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] (A-2*E)*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und warum?
Btw: Meine Jordanmatrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
Vielen Dank für alle Versuche, mich zu erleuchten
MatheNot
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Hallo MatheNot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimme eine Transformationsmatrix S, sodass [mm]S^{-1}AS=A'[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Matheraumler,
>
> ich habe eine Frage zur Jordanschen Normalform. Ich habe
> eine Matrix A gegeben und die dazugehörige Matrix A' schon
> ausgerechnet. Nun will ich die Transformationsmatrix
> berechnen. Ich habe hier schon viel rumgeguckt und dabei
> den (sehr, sehr guten) Hinweis auf "Kochen mit Jordan"
> gefunden.
> Dort steht nun zur Transformationsmatrix, dass man
> Kern(A-t*E) und Kern [mm](A-t*E)^{2}[/mm] usw. ausrechnen soll bis
> zu der Potenz, ab der sich der Kern nicht mehr ändert.
> Dann soll man bei dieser Potenz (ich nenne sie p) anfangen
> und einen Vektor nehmen, der in [mm]Kern(A-t*E)^{p}[/mm] liegt, aber
> nicht in [mm]Kern(A-t*E)^{p-1}.[/mm] Den multipliziert man dann noch
> mit (A-t*E) bis [mm](A-t*E)^{p-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und dann hat man den Anfang
> für die Basis, aus der die Transformationsmatrix gebildet
> wird. Das macht man dann mit den anderen WErten weiter.
>
> Hier nun meine Frage:
> Ich habe ausgerechnet (ist sicher richtig): Eigenwert 2,
> Matrix 4-dimensional.
Ohne Kenntnis der Matrix A, kann ich das, was Du ausgerechnet hast,
weder als richtig noch als falsch beurteilen.
> Kern(A-2*E)=<vektor{1 [mm]\\[/mm] 1 [mm]\\[/mm] 0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0};vektor{1 [mm]\\[/mm] 0 [mm]\\[/mm] 1
> [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0};vektor{1 [mm]\\[/mm] 0 [mm]\\[/mm] 0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
> und
> [mm]Kern(A-2*E)^{2}=\IR^{4}.[/mm]
> Welchen Vektor nehme ich jetzt außer [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm](A-2*E)*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] und warum?
> Btw: Meine Jordanmatrix sieht so aus:
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Vielen Dank für alle Versuche, mich zu erleuchten
> MatheNot
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 05.10.2010 | | Autor: | MatheNot |
Oh, sorry für die wohl vielen Eingabefehler, dachte eig, ich hätte die Matrix angegeben, sorry.
Also hier ist sie:
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 3 }
[/mm]
Gruß MatheNot
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Hallo MatheNot,
> Oh, sorry für die wohl vielen Eingabefehler, dachte eig,
> ich hätte die Matrix angegeben, sorry.
>
> Also hier ist sie:
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 3 }[/mm]
Die Berechnungen der Eigenwerte samt zugehöriger Eigenvektoren stimmen.
Ausser [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \left(A-2E\right)*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] sind noch die zwei anderen Eigenvektoren aus
[mm]\operatorname{Kern}\left(A-2E\right)[/mm] zur Bildung der Basis heranzuziehen.
>
> Gruß MatheNot
Gruss
MathePower
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