Jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Di 05.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber mathematiker/in,
Hier ist eine Aufgabe den ich lösen können muss, Ich weiß nicht was ich hier machen muss, weil ich die Vorlesung verpasst habe. Danke für die Hilfe.
Es sei [mm] V_{n} [/mm] der Vektorraum alle reelen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n. Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der Abbildung.
[mm] V_{n}\ni f(x)\to f^{'}(x) \in V_{n}
[/mm]
|
|
| |
|
> Hallo lieber mathematiker/in,
Hallo!
> Hier ist eine Aufgabe den ich lösen können muss, Ich weiß
> nicht was ich hier machen muss, weil ich die Vorlesung
> verpasst habe.
Schlamperei. Obgleich, leider, leider, kann man's ja oft genug nach der Vorlesung auch noch nicht...
> Es sei [mm]V_{n}[/mm] der Vektorraum alle reelen Polynome vom Grad
> [mm]\le[/mm] n. Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der
> Abbildung.
>
> [mm]V_{n}\ni f(x)\to f^{'}(x) \in V_{n}[/mm]
Hier ein grober (großer) Plan für den Lösungsweg:
Jordan schreit sofort nach Charakteristischem Polynom bzw. Minimalpolynom.
Um das zu finden, solltest Du Dir erst einmal die Matrix der Abbildung aufstellen.
Wie geht das? Nimm Dir eine Basis Deines VRs und guck, worauf die Basisvektoren abgebildet werde. Die Bilder in die Spalten stecken.
Welche Basis? Eine Basis der VRs der Polynome ist (1, x, [mm] x^1, x^2,..., x^n). [/mm] Die Bilder der Basisvektoren zu finden ist nicht schwierig.
Der nächste Schritt nach dem Aufstellen der Matrix wäre das Berechnen des charakteristischen Polynoms, und anschließend das Finden des Minimalpolynoms. Wenn Du das hast, kannst Du Dich vorsichtig der Jordanschen Normalform nähern.
(Ich würde erstmal ganz konkret die Fälle n=2,3 und vielleicht sogar 4 durchspielen, oft bringt einen das auf den rechten Weg.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:01 Mi 13.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Zusammen, Wie Angela mir gesagt hat habe ich die Matrix gefunden.
Zuerst die Bilder
[mm] f(1)=f^{'}(1)=0
[/mm]
[mm] f(x)=f^{'}(x)=1
[/mm]
[mm] f(x^{2})=f^{'}(x^{2})=2x
[/mm]
[mm] f(x^{3})=f^{'}(x^{3})=3x^{2}
[/mm]
.
.
[mm] f(x^{n})=f^{'}(x^{n})=nx^{n-1}
[/mm]
Ich glaube man sollte die f oben weglassen. Die Bilder stimmen ja.
So, jetzt muss man ja die Bilder mit Basis darstellen.
[mm] 0=0\*1+0 \*x+0 \*x^{2}+.........+0 \*x^{n}
[/mm]
[mm] 1=1\*1+0 \*x+0 \*x^{2}+.........+0 \*x^{n}
[/mm]
[mm] 2X=0\*1+0 \*x+2 \*x^{2}+.........+0 \*x^{n}
[/mm]
.
.
[mm] nx^{n-1}=0 \*1+0 \*x+0 \*x^{2}+....+n \*x^{n-1}+0 \*x^{n}
[/mm]
Dann sieht die Darstellungsmatrix so aus.
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n-1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Dann habe ich das char. Polynom gerechnet. Es sieht komisch aus.
[mm] T^{n}
[/mm]
Es gibt doch keine Nullstelle von diesem Polynom, oder?
Wenn es eine gibt, dann ist das 0 einzige Nullstelle denke ich mal. Wie finde ich jetz die Jordansche Normalform? DANKE
|
|
|
| |
|
>
> Dann habe ich das char. Polynom gerechnet. Es sieht komisch
> aus.
>
> [mm]T^{n}[/mm]
Hallo, freu Dich!
Du mußtest fürs Polynom bestimmt nicht lang rechnen, und die Nullstellenbestimmung ist sehr einfach.
>
> Es gibt doch keine Nullstelle von diesem Polynom, oder?
Doch! Wann kommt denn null raus?
Siehst Du:
> Wenn es eine gibt, dann ist das 0 einzige Nullstelle denke
> ich mal.
Genau, 0 ist die einzige Nullstelle, aber eine n-fache dafür.
Wie finde ich jetz die Jordansche Normalform?
Guck mal in meinem Beitrag zu Deiner Frage "charakteristische Polynom" von vor ein paar Tagen, 7.7. vielleicht, da hatte ich Dir Jordankochrezepte geliefert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 13.07.2005 | | Autor: | NECO |
Soryy,
Ich finde die jordansche form nicht. Die alte Aufgabe hilft mir nicht.
Kannst du villeicht, ein ein ziges mal, hier mit meinem bespiel machen.
Dann verstehe ich ja es. und frage nicht mehr. danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Neco!
Klar ist ja, dass auf der Diagonalen nur $0$ stehen. Es geht also nur noch daraum, wie viele und welche Jordankästchen auftauchen mit $1$en in der Nebendiagonalen.
Offenbar gilt für die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $0$:
[mm] $\dim(Kern(f [/mm] - 0 [mm] \cdot [/mm] id)) = [mm] \dim(Kern(f)) [/mm] = n- Rang(f) = n-(n-1) =1$.
Daher gibt es nur einen einzigen Jordanblock.
Die Jordansche Normalform sieht also so aus: In der Nebendiagonalen (Ist es bei euch die untere oder obere? Das wechselt von Lehrbuch zu Lehrbuch...) befinden sich lauter $1$en, während der komplette Rest der Matrix aus $0$en besteht.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
