K-Linearität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Aufgabe: Entscheide, ob die Abbildung K-linear ist und finde gegebenenfalls eine Basis ihres Kerns und ihres Bildes.
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Hi,
Kann mir jemand erklären, was es bedeutet, wenn eine Abbildung K-linear ist?
Also als Beispiel habe ich die Abbildung f: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] , f(x,y,z)=(x - 2y, 6y - 3x) für [mm] K=\IR
[/mm]
Vielen Dank
Gruß Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe: Entscheide, ob die Abbildung K-linear ist und
> finde gegebenenfalls eine Basis ihres Kerns und ihres
> Bildes.
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> Hi,
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> Kann mir jemand erklären, was es bedeutet, wenn eine
> Abbildung K-linear ist?
>
> Also als Beispiel habe ich die Abbildung f: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm]
> , f(x,y,z)=(x - 2y, 6y - 3x) für [mm]K=\IR[/mm]
>
Hallo,
Du sollst prüfen, ob für alle a,b [mm] \in \IR^3 [/mm] und für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] folgendes gilt:
f(a+b)=f(a)+f(b) und [mm] f(\lambda a)=\lambda [/mm] f(a).
Beachte hierbei, daß a und b Tripel aus reellen Zahlen sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Smex |
Achso, das war ja viel einfacher als ich gedacht hatte^^
Aber wie bestimme ich dann die Basis, also wir haben gelernt, wie man mithilfe der Basis auf die koordinatenmatrix kommt, aber wie soll man das denn andersrum machen??
Vielen Dank
Gruß Smex
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>>>f(x,y,z)=(x - 2y, 6y - 3x)
> Aber wie bestimme ich dann die Basis, also wir haben
> gelernt, wie man mithilfe der Basis auf die
> koordinatenmatrix kommt, aber wie soll man das denn
> andersrum machen??
Du kannst jetzt eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] nehmen und die Funktionwerte dieser Basisvekoren bestimmen.
Die kommen als Spalten in eine Matrix A.
Damit hast Du dann die darstellende Matrix Deiner Abbildung.
Die Bilder der Basisvektoren (also die Spalten der Matrix) spannen das Bild der Abbildung auf, und aus diesen Vektoren fischst Du Dir eine maximale linear unabhängige Teilmenge heraus. damit hast Du die Basis des Bildes.
Um den Kern zu bestimmen, mußt Du Ax=0 lösen, bzw. die Lösung von
(x - 2y, 6y - 3x)=(0,0) ermitteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Smex |
Kann ich dann als Basis des [mm] \IR^3 [/mm] auch einfach die kanonische Basis verwenden?
Zum prüfen der Linearität: Muss ich also einfach prüfen, ob z.B. f( (1,2,3) + (4,5,6) ) = f(1,2,3) + f(4,5,6) ist??
Gruß Smex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | | Eine der Aufgaben lautet: b: [mm] \IC \to \IC, [/mm] b(a) = â, für K = [mm] \IR, \IC, [/mm] wobei â die zu a konjugierte Zahl ist. |
Was bedeutet das denn, dass â die zu a konjugierte Zahl ist??
Heisst das einfach, dass â = x - yi für a = x + yi??
Gruß Smex
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> Heisst das einfach, dass â = x - yi für a = x + yi??
Genau!
Gruß v. Angela
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> Kann ich dann als Basis des [mm]\IR^3[/mm] auch einfach die
> kanonische Basis verwenden?
Wenn da nichts anderes steht, würde ich das unbedingt tun!
Man muß sich das Leben ja nicht unnötig schwer machen.
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> Zum prüfen der Linearität: Muss ich also einfach prüfen, ob
> z.B. f( (1,2,3) + (4,5,6) ) = f(1,2,3) + f(4,5,6) ist??
Ja, aber natürlich das nicht für sämtlcihe Kombinationenen aus dem [mm] \IR^3 [/mm] durchrechnen...
Sondern mit Buchstaben. Du willst ja fertig werden, solange Du lebst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 11.12.2007 | | Autor: | Smex |
Aber in der Beispielaufgabe, die ich gegeben habe wird für f(x,y,z) = (x - 2y, 6y - 3x) die z-Koordinate überhaupt nicht benötigt, d.h. wenn ich jetzt versuche das Bild meiner Basis herauszufinden, dann bekomme ich 2 Vektoren aus dem [mm] \IR^2, [/mm] die linear abhängig sind. Dann kriege ich damit doch keine Basis hin, oder?
Gibt es für Abbildungen [mm] \IC \to \IC [/mm] auch sowas wie eine kanonische Basis??
Gruß Smex
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> Aber in der Beispielaufgabe, die ich gegeben habe wird für
> f(x,y,z) = (x - 2y, 6y - 3x) die z-Koordinate überhaupt
> nicht benötigt,
Hallo,
???
Der dritte Einheitvektor wird halt auf [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] abgebildet.
>d.h. wenn ich jetzt versuche das Bild
> meiner Basis herauszufinden, dann bekomme ich 2 Vektoren
> aus dem [mm]\IR^2,[/mm] die linear abhängig sind. Dann kriege ich
> damit doch keine Basis hin, oder?
Eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bekommst Du damit natürlich nicht.
Die will aber auch keiner von Dir wissen, man kennt sie ja.
Wofür man sich interessiert - und das steht auch in der Aufgabe - ist eine Basis des Bildes und des Kerns.
Du hast nun oben festgestellt, daß das Bild aufgespannt wird von
zwei Vektoren, die linear abhängig sind.
Also weißt Du doch, daß die Dimension des Bildes =1 ist, nämlich ist Bild f=<(1,-3)>
>
> Gibt es für Abbildungen [mm]\IC \to \IC[/mm] auch sowas wie eine
> kanonische Basis??
Wenn Du [mm] \IC [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] betrachtest, ist (1,i) eine Basis, der Raum also zweidimensional.
Betrachtet als VR über [mm] \IC [/mm] ist [mm] \IC [/mm] eindimensional mit Basis (1).
Gruß v. Angela
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