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Ich muss zeigen, dass x [mm] \otimes [/mm] y = o ist, in V [mm] \otimes [/mm] K W genau dann, wenn x=0 oder y =0 ist, wobei V und W K-Vektorräume sind.
Ich weiß nicht wirklich, wie ich das zeigen soll.
Kann man so rangehen, dass x [mm] \otimes [/mm] y = (x [mm] \otimes [/mm] y)*1 = (x [mm] \otimes [/mm] y)*(3*1+2*(-1)) und dass dan weiter auflöst. Am nde kommt allerdings raus, dass x und y null sind. Könnt ihr mir weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Sa 28.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo sternchen19.8,
kann sein dass ich mich hier einfach zu wenig auskenne aber ich verstehe nicht so ganz was Sache ist.
> Ich muss zeigen, dass x [mm]\otimes[/mm] y = o ist, in V [mm]\otimes[/mm] K
[mm]\otimes[/mm] ?
Damit ist wohl die disjunkte Summe gemeint oder wie heißt dass?
Mit o meinst du eine Nullmatrix? Also dass neutrale Element der Addition ?
Vielleicht schreibst du mal dazu, was deine Ideen bisher waren und was du so zur Theorie anbieten kannst etc.
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Also in der Aufgabe steht nur, dass x [mm] \otimes [/mm] y = 0 ist, wenn x=0 oder y=0 ist. x [mm] \otimes [/mm] y bezieht sich auf V getensort W im K-Vektorraum.
Meine Idee hatte ich doch schon im ersten Beitrag kurz angefangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 So 29.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo sternchen19.8,
wie ist denn die Verknüpfung [mm] $x\otimes [/mm] y$ definiert?
Ich könnte mir vorstellen, dass das die Verknüpfung zum direkten Produkt zweier Vektorräume [mm] $V\otimes [/mm] W$ sein sol.
Falls V, W endlichdimensional sind [mm] $(x_1,\ldots,x_n)=x\in K^n=V$, $(y_1,\ldots,y_m)=y\in K^m=W$, [/mm] wäre das dann also:
[mm] $(x_1,\ldots,x_n)\otimes (y_1,\ldots,y_m)=(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)\in K^{n+m}=V\otimes [/mm] W$
Falls diese Verknüpfung gemeint ist, dürfte der unendlich-dimensionale Fall der interessantere sein...
Viele Grüße,
Mar
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An sich steht in der Aufgabe nichts weiter drin, aber äußere Produkte ist gerade das Thema. Ist ja eigentlich ganz simpel, was du geschrieben hast, aber wo fließt ein, das x=0 oder y=0 ist und wie sieht der interessante Teil aus? Kannst du mir wenigstens einen Tipp oder einen Anfang geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal musst du folgendes wissen/dir klar machen:
Ist [mm] $(v_i)_{i \in I}$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $(w_j)_{j \in J}$ [/mm] eine Basis von $W$, so ist
[mm] $(v_i \otimes w_j)_{i \in I,j \in J}$
[/mm]
eine Basis des Tensorprodukts $V [mm] \otimes [/mm] W$ von $V$ und $W$.
Sind nun $v [mm] \ne [/mm] 0$ und $w [mm] \ne [/mm] 0$, dann gibt es ein [mm] $\lambda_{i_0} \ne [/mm] 0$ und ein [mm] $\mu_{j_0} \ne [/mm] 0$ und
$v = [mm] \sum\limits_{i \in I} \lambda_iv_i$,
[/mm]
$w= [mm] \sum\limits_{j \in J} \mu_jw_j$.
[/mm]
Dann ist aber
$v [mm] \otimes [/mm] w = [mm] \sum\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} \lambda_i \mu_j v_i \otimes v_j$
[/mm]
mit
[mm] $\lambda_{i_0} \cdot \mu_{j_0} \ne [/mm] 0$,
also:
$v [mm] \otimes [/mm] w [mm] \ne [/mm] 0$.
Die Rückrichtung ist natürlich trivial.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mi 25.06.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Hallo alle zusammen, diese Aufgabe würde mich sehr interessieren und möchte wissen, wenn [mm] \lambda_{i0}=0 [/mm] bzw. [mm] \mu_{j0}=0, [/mm] dann würde v bzw. w=0 sein?
und wie löse ich z.B. v [mm] \otimes [/mm] w = [mm] -w\otimesv, [/mm] genau dann wenn v=0 oder w=0.
wüßte nicht, womit ich da anfangen soll.
Werde mich sehr über jede Hilfe freuen.
Glg Regina
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Hallo Gina,
Zu zeigen ist, falls v und w nicht null sind dann auch nicht $ [mm] v\otimes [/mm] w $.
Es wurde ja schon gesagt, dass für Basen $ [mm] (v_i )_i$, $(w_j)_j [/mm] $ von V bzw. W [mm] $(v_i\otimes w_j)_{i,j} [/mm] $ eine Basis des Tensorproduktes ist. Wenn das klar ist, ist es trivial, denn [mm] $\{v\} [/mm] $ sowohl wie [mm] $\{w\} [/mm] $ sind linear unabhängig, lassen sich also zu einer Basis erweitern. Dann ist $ [mm] v\otimes [/mm] w $ Element einer Basis des Tensorproduktes, kann also nicht 0 sein.
Tatsächlich muss man sogar ein solches Basis-Argument verwenden, denn über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht; z.B. ist [mm] $\IZ/2\otimes_\IZ\IZ/3=0$. [/mm] Richtig ist das aber für freie Moduln über Ringen, sind also [mm] $(v_i) [/mm] $ und [mm] $(w_i)$ [/mm] Basen von freien Moduln, so ist deren Tensorprodukt frei mit Basis [mm] $(v_i\oplus w_i) [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Stell' das nächste mal besser eine neue Frage, anstatt eine 9 Jahre alte Frage wieder auszugraben.
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