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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen, bei der mir leider jeglicher Ansatz fehlt. Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen:
Gegeben seien m Vektoren [mm] v_{1},..., v_{m} [/mm] in einem K-Vektorraum V.
Wir definieren:
M: = [mm] \{U|U ist Untervektorraum von V und v_{1},..., v_{m} \in U \}
[/mm]
und
[mm] \bigcap_{U \in M}U: [/mm] = [mm] \{v \in V | v \in U fuer alle U \in M \} [/mm]
Zeige: [mm] L(v_{1},..., v_{m}) [/mm] = [mm] \bigcap_{U \in M}U.
[/mm]
Hoffe auf eure Hilfe,
danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du musst die Gleichheit zweier Mengen zeigen, also am besten durch beidseitige Inklusion , also :
1) $ [mm] L(v_{1},..., v_{m}) \subseteq \bigcap_{U \in M}U [/mm] $
2) $ [mm] L(v_{1},..., v_{m}) \supseteq \bigcap_{U \in M}U [/mm] $
1) ist relativ simpel, denn alle [mm] v_i [/mm] sind in allen U enthalten und weil U Unterräume sind, auch alle Linearkombinationen der [mm] v_i [/mm] ...
(die mathematisch korrekte Schreibweise überlasse ich dir zur Übung - mehr ist dies hier eigntlich nämlich nicht)
zu 2) durch Widerspruch : angenommen es gäbe noch einen anderen Vektor w in der rechten Seite (also in allen U), der nicht in der Linearkombinationen der [mm] v_i [/mm] vorkommt.
Aber du weißt ja, dass [mm] $L(v_{1},..., v_{m})$ [/mm] selbst wieder ein UVR U' der angegebenen Form ist - d.h. U' ist auch in M enthalten - ist nun w in U' enthalten ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo DaMenge,
hab mir überlegt, das Ganze mit Induktion zu beweisen.
Hab dabei UV2 und UV3 angewandt, geht das auch.
Danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du meinst Induktion nach m , also der ANzahl der enthaltenden Vektoren ?
hm, das könnte evtl schon gehen, aber dann solltest du mal die Schritte hier hin schreiben, wenn du dir unsicher bist, ob es richtig ist.
(aber meine Variante ist sicherlich einfacher)
viele Grüße
DaMenge
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