K-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 01.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien M eine Menge, V ein Vektorraum über dem Körper K und Abb(M,V) die
Menge der Abbildungen von M nach V. Zeigen Sie, dass Abb(M,V) zusammen mit
den Abbildungen
+: Abb(M,V) × Abb(M,V) [mm] \to [/mm] Abb(M,V), (f ,g) [mm] \mapsto [/mm] f +g
und
·: K × Abb(M,V) [mm] \to [/mm] Abb(M,V), [mm] (\lambda [/mm] , f ) [mm] \mapsto \lambda [/mm] · f
ein K-Vektorraum ist. |
Ich wollte nur mal fragen, ob die Axiome für die Multiplikation richtig habe.
f(x):=y, [mm] g(x):=y_1
[/mm]
a) [mm] \forall \lambda, \beta \in [/mm] K und [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] Abb(M,V) gilt:
[mm] (\lambda [/mm] * [mm] \beta) [/mm] * f(x) = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \beta) [/mm] * y = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \beta [/mm] * y) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * y) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * f(x))
b) Es existiert eine [mm] 1\in [/mm] K, sodass 1*f = f [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] Abb(M,V)
1*f(x) = 1*y = y = f(x)
c) [mm] \forall \lambda \in [/mm] K und [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] Abb(M,V) gilt:
[mm] \lambda [/mm] * ((f+g)(x)) = [mm] \lambda [/mm] * (f(x) + g(x)) = [mm] \lambda [/mm] * (y + [mm] y_1) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] * y + [mm] \lambda [/mm] * [mm] y_1) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * f(x) + [mm] \lambda [/mm] * g(x)
d) [mm] \forall \lambda, \beta \in [/mm] K und [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] Abb(M,V) gilt:
[mm] (\lambda [/mm] + [mm] \beta) [/mm] * f(x) = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \beta) [/mm] * y = [mm] (\lambda [/mm] * y + [mm] \beta [/mm] * y) = [mm] \lambda [/mm] * f(x) + [mm] \beta [/mm] * f(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo kRAITOS,
es sieht schon mal nicht schlecht aus. Gut ist schon mal, dass du über [mm] $f(x)=y\in [/mm] V$$ und [mm] $g(x)=y_1\in [/mm] V$ argumentierst. Vielleicht solltest du aber noch explizit erwähnen, dass [mm] y,y_1\in [/mm] V einem K-Vektorraum V sind und daher z.B. Assoziativität bzgl Multiplikation gilt.
Zu a):
> a) [mm]\forall \lambda, \beta \in[/mm] K und [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] Abb(M,V)
> gilt:
>
> [mm](\lambda[/mm] * [mm]\beta)[/mm] * f(x) = [mm](\lambda[/mm] * [mm]\beta)[/mm] * y = [mm](\lambda[/mm]
> * [mm]\beta[/mm] * y) = [mm]\lambda[/mm] * [mm](\beta[/mm] * y) = [mm]\lambda[/mm] * [mm](\beta[/mm] *
> f(x))
Warum der Zwischenschritt [mm](\lambda[/mm] * [mm]\beta[/mm] * y)? Wie oben bereits erwähnt kann man die Assoziativität ausnutzen, da [mm] $y\in [/mm] V$ und V ein K-VR.
Zu b)
> b) Es existiert eine [mm]1\in[/mm] K, sodass 1*f = f [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm]
> Abb(M,V)
>
> 1*f(x) = 1*y = y = f(x)
Auch hier explizit [mm] y\in [/mm] V K-VR erwähnen.
Zu c) und d):
> c) [mm]\forall \lambda \in[/mm] K und [mm]\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] Abb(M,V)
> gilt:
>
> [mm]\lambda[/mm] * ((f+g)(x)) = [mm]\lambda[/mm] * (f(x) + g(x)) = [mm]\lambda[/mm] *
> (y + [mm]y_1)[/mm] = [mm](\lambda[/mm] * y + [mm]\lambda[/mm] * [mm]y_1)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * f(x)
> + [mm]\lambda[/mm] * g(x)
> d) [mm]\forall \lambda, \beta \in[/mm] K und [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] Abb(M,V)
> gilt:
>
> [mm](\lambda[/mm] + [mm]\beta)[/mm] * f(x) = [mm](\lambda[/mm] * [mm]\beta)[/mm] * y = [mm](\lambda[/mm]
> * y + [mm]\beta[/mm] * y) = [mm]\lambda[/mm] * f(x) + [mm]\beta[/mm] * f(x)
Siehe Kritik zu a).
Ansonsten sauber.
MfG Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Vielen Dank. 
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