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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen zwischen den angegebenen Vektorräumen über dem Körper K im allgemeinen K-linear sind. Ja oder nein?
1.) f: [mm] K^{2} \to [/mm] K, f(x,y)=x+y
2.) f: [mm] K\to [/mm] K, f(x)=x+y für ein beliebiges [mm] y\in [/mm] K
3.) f: [mm] \IR^{n} \to \IR, f(x_{1},...,x_{n})=max [/mm] { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } für [mm] K=\IR
[/mm]
4.) f: [mm] \IC \to \IC, f(x)=\overline{x} [/mm] für [mm] K=\IR
[/mm]
5.) f: [mm] \IC \to \IC, f(x)=\overline{x} [/mm] für [mm] K=\IC [/mm] |
Hallo!
Würde gerne wissen , ob meine Überlegungen richtig sind :)
1.) JA
Da es egal ist, ob ich erst abbilde und dann rechne (skalar multipliziere/
vektorriell addiere) oder esrt rechne und dann abbilde.
2.) NEIN
Ein Gegenbeispiel für [mm] K=\IR
[/mm]
f(2+3)=f(5)=5+y
f(2)+f(3)=(2+y)+(3+y)=5+2y
[mm] 5+y\not=5+2y [/mm] es sei denn y=0 , aber laut Aufgabenstellung y beliebig!
3.)NEIN
Ein Gegenbeispiel für [mm] K=\IR [/mm] und n=2
f(3,4) + f(6,5) = 4+6 = 10
f((3,4)+(6,5)) = f(9,9) = 9
da [mm] 9\not=10 [/mm] ist die Abbildung nicht K-linear
4.)JA
Hier würde ich wieder sagen, dass die Abbildung K-linear ist, mit der
gleichen Begründung wie in 1.)
5.)NEIN
Ein Gegenbeispiel ( (7,3) ist Körperelement also [mm] \in \IC [/mm] )
f((1,2)*(7,3)) = f(1,17) = (1,-17)
f(1,2)= (1,-2) (1,-2)*(7,3)= (13,-11)
da [mm] (1,-17)\not=(13,-11) [/mm] ist dies ebenfalls keine K-lineare Abbildung
Vielen Dank schon im Vorraus!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
Ich hab das letztens auch gemacht, versuch dir mal zu helfen 
> 1.) JA
> Da es egal ist, ob ich erst abbilde und dann rechne
> (skalar multipliziere/
> vektorriell addiere) oder esrt rechne und dann
> abbilde.
Ich hab auch raus, dass es linear ist.
Und deine Begründung ist ja gerade die Linearitätseigenschaft
> 2.) NEIN
> Ein Gegenbeispiel für [mm]K=\IR[/mm]
> f(2+3)=f(5)=5+y
> f(2)+f(3)=(2+y)+(3+y)=5+2y
> [mm]5+y\not=5+2y[/mm] es sei denn y=0 , aber laut
> Aufgabenstellung y beliebig!
Hab ich auch so.
Ich habs allerdings allgemein gemacht:
f(a+b) soll gleich f(a)+f(b) sein.
[mm] f(a+b)=(a+b)+y=a+b+y\not=a+b+2y=a+y+b+y=f(a)+f(b)
[/mm]
Daher nicht linear für beliebige Wahl von y.
> 3.)NEIN
> Ein Gegenbeispiel für [mm]K=\IR[/mm] und n=2
> f(3,4) + f(6,5) = 4+6 = 10
> f((3,4)+(6,5)) = f(9,9) = 9
> da [mm]9\not=10[/mm] ist die Abbildung nicht K-linear
Hier hab ich keine Ahnung
> 4.)JA
> Hier würde ich wieder sagen, dass die Abbildung
> K-linear ist, mit der
> gleichen Begründung wie in 1.)
Ja, da hab ich auch, dass es linear ist.
> 5.)NEIN
> Ein Gegenbeispiel ( (7,3) ist Körperelement also [mm]\in \IC[/mm]
> )
> f((1,2)*(7,3)) = f(1,17) = (1,-17)
> f(1,2)= (1,-2) (1,-2)*(7,3)= (13,-11)
> da [mm](1,-17)\not=(13,-11)[/mm] ist dies ebenfalls keine
> K-lineare Abbildung
Hab ich auch
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> 3.)NEIN
> Ein Gegenbeispiel für [mm]K=\IR[/mm] und n=2
> f(3,4) + f(6,5) = 4+6 = 10
> f((3,4)+(6,5)) = f(9,9) = 9
> da [mm]9\not=10[/mm] ist die Abbildung nicht K-linear
Perfekt!
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Hey!
Also habe ich alle Fragen richtig beantwortet?!
Danke!
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Abgesehen davon, dass du bei 1) und 4) die Linearität nicht begründet hast, sondern nur aufgeschrieben hast, was zu zeigen ist, ist alles korrekt!
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Alles klar, super, danke!
MFG
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