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Man soll bei folgender Aufgabe den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{ x^{n}}{ \wurzel{n!}}
[/mm]
Ich weiß nur, dass es einen Konvergenzradius in den komplexen Zahlen gibt und dass die Potenzreihe konvergiert, welches mit dem Majorantenkriterium bewiesen wird, was wir in der vorlesung schon gemacht haben.
ich danke für die Hilfe.
Dei Verzweifelte
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Hallo, Verzweifelte,
Konvergenradius gibt es nicht nur für komplexe Reihen.
Um ihn zu bestimmen, wendet man einfach ein Konvergenzkriterium an und untersucht, für welchen
Wertbereich der Variablen es erfüllt ist.
Im vorliegenden Beispiel [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{x^n}{\sqrt{n!} } [/mm] $ nehme ich das Quotientenkriterium
$ | [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | < 1$ also $ | [mm] \frac{x^{n+1}}{\sqrt{n!(n+1)}} [/mm] / [mm] \frac{x^n}{\sqrt{n!}} [/mm] |= | [mm] \frac{x*\sqrt{n!}}{\sqrt{n!(n+1)} }| [/mm] = | [mm] \frac{x}{\sqrt{n+1}} [/mm] | < 1$
das für beliebige reelle ( und auch komplexe ) x erfüllbar ist, die Reihe konvergiert also immer.
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