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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Blume123 |
Hallo!
habe hier folgende Aufgabe:
Aus einem kreisförmigen Rundstab mit dem Durchmesser d=12 cm soll ein rechteckiger Stab mit einem möglichst großen rechteckigen Querschnitt gefertigt werden. Bestimmen sie die Seitenlängen a und b des Rechtecks.
Also bis wohin ich bisher gekommen bin:
Extremalbedingung: A = a * b
Nebenbedingung:
[mm] d^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] (Satz des Pythagoras)
[mm] d^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = [mm] a^2
[/mm]
[mm] \wurzel{d^2 - b^2} [/mm] = a
Zielfunktion:
E(A) = [mm] \wurzel{144-b^2} [/mm] * b
So hier komme ich jetzt nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie ich hiervon die Ableitung mache, oder kann ich das noch weiter auflösen?
Wenn ich die Ableitung habe, muss ich diese doch nur gleich null setzen und dann schauen, was rauskommt oder?
Wäre nett, wenn mir hier einer weiter helfen könnte!
LG Blume
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Blume 123,
Deine bisherigen Umformungen sind soweit korrekt.
Was die Ableitung von $E(A) = [mm] \wurzel{144-b^2} [/mm] * b$ als Funktion von $b$ betrifft, so mußt Du jetzt die Produktregel sowie die Kettenregel für Ableitungen anwenden. Außerdem benötigst Du, daß die Funktion [mm] $\wurzel [/mm] x$ die Ableitung [mm] $1/(2\wurzel [/mm] x)$ besitzt.
Wenn Du gerne Tricks verwendest, kannst Du, statt $E(A)$ zu maximieren, auch [mm] $E(A)^2$ [/mm] maximieren. Kommt dasselbe raus, aber Du mußt Dich nicht mehr mit der dummen Wurzel rumschlagen! :)
> Wenn ich die Ableitung habe, muss ich diese doch nur gleich null
> setzen und dann schauen, was rauskommt oder?
Richtig. Strengenommen müßte man noch anhand der 2.Ableitung überprüfen, daß man wirklich ein Maximum - und kein Minimum - erwischt hat. Da ist halt die Frage, wie genau Dein Lehrer es haben möchte. Anschaulich ist jedenfalls klar, daß Du tatsächlich ein Maximum erhälst.
Grüße,
Galois
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Hi, Blume,
> Zielfunktion:
> E(A) = [mm]\wurzel{144-b^2}[/mm] * b
Du meinst E(b)!
Du könntest auch schreiben:
E(b) = [mm] \wurzel{(144-b^{2})*b^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{144b^{2}-b^{4}}
[/mm]
Nun die wichtigste Überlegung, die WESENTLICH zur Vereinfachung der Aufgabe beiträgt:
Wenn die Funktion E(b) an einer Stelle [mm] b_{o} [/mm] ein Extremum aufweist,
DANN AUCH DIE FUNKTION g(b) = [mm] E^{2}(b) [/mm] !!
Heißt: Du musst gar nicht die blöde Wurzelfunktion ableiten!!!
Es reicht, die Funktion g(a) = [mm] 144b^{2}-b^{4} [/mm] zu diskutieren!
(Zum Vergleich: Die gesuchte Extremalstelle ist: [mm] b=\wurzel{72} [/mm] = [mm] 6*\wurzel{2}. [/mm] Das gesuchte Rechteck ist also ein Quadrat!)
mfG!
Zwerglein
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