K[X]-Modul < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mi 30.05.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | a)
Es sei V ein endl.-dim. VR über einem Körper K und [mm] F\in End_K(V) [/mm] fest gewählt. Wir definieren
[mm] $K[X]\times V\to [/mm] V$
[mm] $(f(X),v)\to [/mm] f(F)(v).$
$f(F)$ bezeichnet für ein Polynom [mm] $f(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n\in [/mm] K[X]$ den Endomorphismus [mm] f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n. [/mm] Zeige, dass V mit der VR-Addition und mit der so definierten äußeren Verknüpfung zu einem K[X]-Modul wird.
b) Hat der so definierte K[X]-Modul V Torsionselemente? Falls ja, bestimme alle. |
Hallo,
bei a) muss man ja die vier Modul-Eigenschaften nachprüfen.
R Ring, M Modul.
1) [mm] r*(m_1+m_2) [/mm] = [mm] (r*m_1)+(r*m_2) [/mm] für alle [mm] $r\in R,\;m_1,m_2\in [/mm] M$.
Ein [mm] $r\in [/mm] R$ entspricht hier also einem Polynom [mm] $f(x)\in [/mm] K[X]$ und ein [mm] $m\in M\; \hat=\;v\in [/mm] V$. Also:
1) [mm] f(x)*(v_1+v_2) [/mm] = [mm] f(F)(v_1+v_2) [/mm] = [mm] f(F)(v_1) +f(F)(v_2) [/mm] = [mm] (f(x)*v_1)+(f(x)*v_2).
[/mm]
2) [mm] (f_1(x)+f_2(x))*v [/mm] = [mm] (f_1+f_2)(F)(v) [/mm] = [mm] f_1(F)(v)+f_2(F)(v) [/mm] = [mm] (f_1(x)*v)+(f_2(x)*v).
[/mm]
3) z.z.: [mm] (f_1*f_2)*v [/mm] = [mm] f_1*(f_2*v). [/mm] Wie geht das hier? [mm] (f_1*f_2)*v [/mm] = [mm] (f_1*f_2)(F)(v) [/mm] = [mm] (f_1(F)*f_2(F))(v) [/mm] = ?
4) z.z.: $1*v=v$. Die 1 in K[X] ist ja ein Polynom f(x)=1, also [mm] $1*v=f(x)*v=f(F)(v)=1*id_V(v)=v$.
[/mm]
b)
Ein [mm] $v\in [/mm] V$ heißt Torsionselement, wenn es ein [mm] $f\in [/mm] K[X]$ gibt mit [mm] $f\not= [/mm] 0$ aber f*v=0. Es geht also darum, wann [mm] f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0 [/mm] wird.
Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also ist das einzige Torsionselement $v=0$.
Oder habe ich etwas übersehen?
Ich hoffe das stimmt so oder ihr könnt mir weiterhelfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 31.05.2012 | | Autor: | triad |
Wäre super wenn jemand noch was dazu sagen könnte, mir hilft jede Kleinigkeit weiter.
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 31.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> a)
> Es sei V ein endl.-dim. VR über einem Körper K und [mm]F\in End_K(V)[/mm]
> fest gewählt. Wir definieren
>
> [mm]K[X]\times V\to V[/mm]
> [mm](f(X),v)\to f(F)(v).[/mm]
>
> [mm]f(F)[/mm] bezeichnet für ein Polynom
> [mm]f(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n\in K[X][/mm] den Endomorphismus
> [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n.[/mm] Zeige, dass V mit der
> VR-Addition und mit der so definierten äußeren
> Verknüpfung zu einem K[X]-Modul wird.
>
> b) Hat der so definierte K[X]-Modul V Torsionselemente?
> Falls ja, bestimme alle.
> Hallo,
>
> bei a) muss man ja die vier Modul-Eigenschaften
> nachprüfen.
Ja. Das ist hauptsaechlich Rechnen...
> R Ring, M Modul.
> 1) [mm]r*(m_1+m_2)[/mm] = [mm](r*m_1)+(r*m_2)[/mm] für alle [mm]r\in R,\;m_1,m_2\in M[/mm].
>
> Ein [mm]r\in R[/mm] entspricht hier also einem Polynom [mm]f(x)\in K[X][/mm]
> und ein [mm]m\in M\; \hat=\;v\in V[/mm]. Also:
>
> 1) [mm]f(x)*(v_1+v_2)[/mm] = [mm]f(F)(v_1+v_2)[/mm] = [mm]f(F)(v_1) +f(F)(v_2)[/mm] =
> [mm](f(x)*v_1)+(f(x)*v_2).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) [mm](f_1(x)+f_2(x))*v[/mm] = [mm](f_1+f_2)(F)(v)[/mm] =
> [mm]f_1(F)(v)+f_2(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(x)*v)+(f_2(x)*v).[/mm]
Das [mm] $(f_1 [/mm] + [mm] f_2)(F)(v) [/mm] = [mm] f_1(F)(v) [/mm] + [mm] f_2(F)(v)$ [/mm] musst du noch begruenden. Ist aber einfach.
> 3) z.z.: [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm]f_1*(f_2*v).[/mm] Wie geht das hier?
> [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] = ?
Naja, nimm [mm] $f_1 [/mm] = [mm] \sum_i a_i x^i$ [/mm] und [mm] $f_2 [/mm] = [mm] \sum_j b_j x^j$. [/mm] Berechne zuerst [mm] $f_1 \cdot f_2$.
[/mm]
Das $*$ in [mm] $(f_1(F)*f_2(F))(v)$ [/mm] ist uebrigens ein [mm] $\circ$, [/mm] also das Verketten von Funktionen.
> 4) z.z.: [mm]1*v=v[/mm]. Die 1 in K[X] ist ja ein Polynom f(x)=1,
> also [mm]1*v=f(x)*v=f(F)(v)=1*id_V(v)=v[/mm].
> b)
> Ein [mm]v\in V[/mm] heißt Torsionselement, wenn es ein [mm]f\in K[X][/mm]
> gibt mit [mm]f\not= 0[/mm] aber f*v=0. Es geht also darum, wann
> [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0[/mm] wird.
> Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also ist das
> einzige Torsionselement [mm]v=0[/mm].
Nein! Es ist nicht das einzige.
Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 01.06.2012 | | Autor: | triad |
Hallo! Danke für deine Antwort.
> > 2) [mm](f_1(x)+f_2(x))*v[/mm] = [mm](f_1+f_2)(F)(v)[/mm] =
> > [mm]f_1(F)(v)+f_2(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(x)*v)+(f_2(x)*v).[/mm]
>
> Das [mm](f_1 + f_2)(F)(v) = f_1(F)(v) + f_2(F)(v)[/mm] musst du noch
> begruenden. Ist aber einfach.
Wenn es einfach wäre (für mich), dann hätte ich es hingeschrieben. Es sieht wirklich so aus als fehlte noch ein Zwischenschritt(e), aber ich sehe nicht, wie man das "=" begründen muss. Das "+" ist doch die Addition in K[X] von Polynomen, wie zieht man das also auseinander?
>
> > 3) z.z.: [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm]f_1*(f_2*v).[/mm] Wie geht das hier?
> > [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] = ?
>
> Naja, nimm [mm]f_1 = \sum_i a_i x^i[/mm] und [mm]f_2 = \sum_j b_j x^j[/mm].
> Berechne zuerst [mm]f_1 \cdot f_2[/mm].
Darf ich denn hier [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] einfach hinschreiben oder muss ich das, wie in 2) mit "+", noch begründen?
> Das [mm]*[/mm] in [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] ist uebrigens ein [mm]\circ[/mm], also
> das Verketten von Funktionen.
Stimmt, das habe ich ganz übersehen. Ich glaub jetzt hab ich's: [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)\overbrace{*}^{\hat=\circ}f_2(F))(v)[/mm] = [mm] f_1(F)(f_2(F)(v)) [/mm] = [mm] f_1*(f_2*v).
[/mm]
>
> > 4) z.z.: [mm]1*v=v[/mm]. Die 1 in K[X] ist ja ein Polynom f(x)=1,
> > also [mm]1*v=f(x)*v=f(F)(v)=1*id_V(v)=v[/mm].
>
>
>
> > b)
> > Ein [mm]v\in V[/mm] heißt Torsionselement, wenn es ein [mm]f\in K[X][/mm]
> > gibt mit [mm]f\not= 0[/mm] aber f*v=0. Es geht also darum, wann
> > [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0[/mm] wird.
> > Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also ist das
> > einzige Torsionselement [mm]v=0[/mm].
>
> Nein! Es ist nicht das einzige.
>
> Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton?
Ja, er besagt, dass [mm] \chi_F(F)=0 [/mm] für [mm] F\in End_K(V) [/mm] und [mm] \chi_F(X) [/mm] char. Polynom von F. Wie hilft er mir weiter? Ich habe ja kein char. Polynom von F, da ich kein F habe.
Für den trivialen Fall v=0 ist es klar dass die Null ein Torsionselement ist. Also sind jetzt nur noch die Fälle, in denen [mm] $f\not= [/mm] 0$ (Voraussetzung) und [mm] $v\not=0$ [/mm] gilt, zu betrachten, z.B. für den einfachen Fall [mm] $grad\; [/mm] f = 0$ - damit meine ich jetzt eine konstante Funktion [mm] f(x)=5*x^0 [/mm] - gilt ja [mm] $f*v=f(F)(v)=5*id_V(v)\not= [/mm] 0$. Also gibt es für diesen Fall kein Torsionselement. Wie das dann bei höheren Graden aussieht ( [mm] f(x)=2x^2+5x-4 [/mm] ) weiss ich nicht, da ich nicht weiss wie das F aussieht.
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 03.06.2012 | | Autor: | triad |
Könnte hier vor allem über den letzten Absatz nochmal jemand drüberschauen? Dass ich es wenigstens ansatzweise verstehe ..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 03.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo! Danke für deine Antwort.
>
> > > 2) [mm](f_1(x)+f_2(x))*v[/mm] = [mm](f_1+f_2)(F)(v)[/mm] =
> > > [mm]f_1(F)(v)+f_2(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(x)*v)+(f_2(x)*v).[/mm]
> >
> > Das [mm](f_1 + f_2)(F)(v) = f_1(F)(v) + f_2(F)(v)[/mm] musst du noch
> > begruenden. Ist aber einfach.
>
> Wenn es einfach wäre (für mich), dann hätte ich es
> hingeschrieben. Es sieht wirklich so aus als fehlte noch
> ein Zwischenschritt(e), aber ich sehe nicht, wie man das
> "=" begründen muss. Das "+" ist doch die Addition in K[X]
> von Polynomen, wie zieht man das also auseinander?
Sei [mm] $f_1 [/mm] = [mm] \sum a_i x^i$ [/mm] und [mm] $f_2 [/mm] = [mm] \sum b_i x^i$.
[/mm]
Dann ist [mm] $f_1 [/mm] + [mm] f_2 [/mm] = [mm] \sum (a_i [/mm] + [mm] b_i) x^i$.
[/mm]
Damit ist [mm] $(f_1 [/mm] + [mm] f_2)(F)(v) [/mm] = [mm] (\sum (a_i [/mm] + [mm] b_i) x^i)(F)(v) [/mm] = [mm] (\sum (a_i [/mm] + [mm] b_i) F^i)(v) [/mm] = [mm] \sum (a_i [/mm] + [mm] b_i) F^i(v) [/mm] = [mm] \sum a_i F^i(v) [/mm] + [mm] \sum b_i F^i(v) [/mm] = [mm] (\sum a_i F^i)(v) [/mm] + [mm] (\sum b_i F^i)(v) [/mm] = [mm] f_1(F) [/mm] (v) + [mm] f_2(F) [/mm] (v)$. Beim vierten Gleichheitszeichen wurde einfach das Distributivgesetz bei der Multiplikation von Vektoren durch Skalare verwendet.
> > > 3) z.z.: [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm]f_1*(f_2*v).[/mm] Wie geht das hier?
> > > [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] = ?
> >
> > Naja, nimm [mm]f_1 = \sum_i a_i x^i[/mm] und [mm]f_2 = \sum_j b_j x^j[/mm].
> > Berechne zuerst [mm]f_1 \cdot f_2[/mm].
>
> Darf ich denn hier [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] = [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm]
> einfach hinschreiben oder muss ich das, wie in 2) mit "+",
> noch begründen?
Nein, du darfst das nicht einfach so hinschreiben. Du musst das nachrechen, wie ich das oben fuer + vorgemacht hab. Dazu musst du erstmal [mm] $f_1 \cdot f_2$ [/mm] ausrechnen, sprich das Ergebnis als Polynom hinschreiben, wo jede Potenz von $x$ genau einmal vorkommt.
> > Das [mm]*[/mm] in [mm](f_1(F)*f_2(F))(v)[/mm] ist uebrigens ein [mm]\circ[/mm], also
> > das Verketten von Funktionen.
>
> Stimmt, das habe ich ganz übersehen. Ich glaub jetzt hab
> ich's: [mm](f_1*f_2)*v[/mm] = [mm](f_1*f_2)(F)(v)[/mm] =
> [mm](f_1(F)\overbrace{*}^{\hat=\circ}f_2(F))(v)[/mm] =
> [mm]f_1(F)(f_2(F)(v))[/mm] = [mm]f_1*(f_2*v).[/mm]
So geht das auch nicht.
> > > 4) z.z.: [mm]1*v=v[/mm]. Die 1 in K[X] ist ja ein Polynom f(x)=1,
> > > also [mm]1*v=f(x)*v=f(F)(v)=1*id_V(v)=v[/mm].
> >
> >
> >
> > > b)
> > > Ein [mm]v\in V[/mm] heißt Torsionselement, wenn es ein [mm]f\in K[X][/mm]
> > > gibt mit [mm]f\not= 0[/mm] aber f*v=0. Es geht also darum, wann
> > > [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0[/mm] wird.
> > > Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also ist
> das
> > > einzige Torsionselement [mm]v=0[/mm].
> >
> > Nein! Es ist nicht das einzige.
> >
> > Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton?
>
> Ja, er besagt, dass [mm]\chi_F(F)=0[/mm] für [mm]F\in End_K(V)[/mm] und
> [mm]\chi_F(X)[/mm] char. Polynom von F. Wie hilft er mir weiter? Ich
> habe ja kein char. Polynom von F, da ich kein F habe.
Doch. Du hast einen Endomorphismus $F$ eines endlich-dimensionalen Vektorraums, und dieser hat ein char. Polynom. Wie dieses konkret aussieht ist doch voellig egal.
Berechne doch mal [mm] $\chi_F \cdot [/mm] v$ fuer ein $v [mm] \in [/mm] V$.
> Für den trivialen Fall v=0 ist es klar dass die Null ein
> Torsionselement ist.
Pass auf, welche Null du hier meinst! Du meinst den Nullvektor $0 [mm] \in [/mm] V$.
> Also sind jetzt nur noch die Fälle,
> in denen [mm]f\not= 0[/mm] (Voraussetzung) und [mm]v\not=0[/mm] gilt, zu
> betrachten, z.B. für den einfachen Fall [mm]grad\; f = 0[/mm] -
> damit meine ich jetzt eine konstante Funktion [mm]f(x)=5*x^0[/mm] -
> gilt ja [mm]f*v=f(F)(v)=5*id_V(v)\not= 0[/mm]. Also gibt es für
> diesen Fall kein Torsionselement.
So darfst du das nicht ausdruecken. Du willst sagen: es gibt kein Torsionselement $v$, zu dem es ein $f [mm] \in [/mm] K[X] [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit $f [mm] \cdot [/mm] v = 0$ gibt mit [mm] $\deg [/mm] f = 0$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 04.06.2012 | | Autor: | triad |
> > > > b)
> > > > Ein [mm]v\in V[/mm] heißt Torsionselement, wenn es ein
> [mm]f\in K[X][/mm]
> > > > gibt mit [mm]f\not= 0[/mm] aber f*v=0. Es geht also darum, wann
> > > > [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0[/mm] wird.
> > > > Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also ist
> > das
> > > > einzige Torsionselement [mm]v=0[/mm].
> > >
> > > Nein! Es ist nicht das einzige.
> > >
> > > Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton?
> >
> > Ja, er besagt, dass [mm]\chi_F(F)=0[/mm] für [mm]F\in End_K(V)[/mm] und
> > [mm]\chi_F(X)[/mm] char. Polynom von F. Wie hilft er mir weiter? Ich
> > habe ja kein char. Polynom von F, da ich kein F habe.
>
> Doch. Du hast einen Endomorphismus [mm]F[/mm] eines
> endlich-dimensionalen Vektorraums, und dieser hat ein char.
> Polynom. Wie dieses konkret aussieht ist doch voellig
> egal.
>
> Berechne doch mal [mm]\chi_F \cdot v[/mm] fuer ein [mm]v \in V[/mm].
Naja, es ist ja [mm] \chi_F*v=\chi_F(F)(v)=(a_0*id_V+a_1*F+a_2*F^2)(v)=a_0*v+a_1*F(v)+a_2*F^2(v)=[unbekannt], [/mm] aber [mm] \chi_F(F) [/mm] müsste an der Stelle doch schon Null ergeben nach dem Satz?
>
> > Für den trivialen Fall v=0 ist es klar dass die Null ein
> > Torsionselement ist.
>
> Pass auf, welche Null du hier meinst! Du meinst den
> Nullvektor [mm]0 \in V[/mm].
>
> > Also sind jetzt nur noch die Fälle,
> > in denen [mm]f\not= 0[/mm] (Voraussetzung) und [mm]v\not=0[/mm] gilt, zu
> > betrachten, z.B. für den einfachen Fall [mm]grad\; f = 0[/mm] -
> > damit meine ich jetzt eine konstante Funktion [mm]f(x)=5*x^0[/mm] -
> > gilt ja [mm]f*v=f(F)(v)=5*id_V(v)\not= 0[/mm]. Also gibt es für
> > diesen Fall kein Torsionselement.
>
> So darfst du das nicht ausdruecken. Du willst sagen: es
> gibt kein Torsionselement [mm]v[/mm], zu dem es ein [mm]f \in K[X] \setminus \{ 0 \}[/mm]
> mit [mm]f \cdot v = 0[/mm] gibt mit [mm]\deg f = 0[/mm].
OK, ich hatte es nur versucht so gut wie möglich zu beschreiben, was ich herausgefunden hatte ;)
Aber wie finde ich nun noch heraus, ob es für [mm]grad\; f > 0[/mm] Torsionselemente gibt?
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 05.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > b)
> > > > > Ein [mm]v\in V[/mm] heißt Torsionselement, wenn es ein
> > [mm]f\in K[X][/mm]
> > > > > gibt mit [mm]f\not= 0[/mm] aber f*v=0. Es geht also darum, wann
> > > > > [mm]f(F)=a_0id_V+a_1F+...+a_nF^n=0[/mm] wird.
> > > > > Da F ein Endomorphismus ist gilt F(0)=0, also
> ist
> > > das
> > > > > einzige Torsionselement [mm]v=0[/mm].
> > > >
> > > > Nein! Es ist nicht das einzige.
> > > >
> > > > Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton?
> > >
> > > Ja, er besagt, dass [mm]\chi_F(F)=0[/mm] für [mm]F\in End_K(V)[/mm] und
> > > [mm]\chi_F(X)[/mm] char. Polynom von F. Wie hilft er mir weiter? Ich
> > > habe ja kein char. Polynom von F, da ich kein F habe.
> >
> > Doch. Du hast einen Endomorphismus [mm]F[/mm] eines
> > endlich-dimensionalen Vektorraums, und dieser hat ein char.
> > Polynom. Wie dieses konkret aussieht ist doch voellig
> > egal.
> >
> > Berechne doch mal [mm]\chi_F \cdot v[/mm] fuer ein [mm]v \in V[/mm].
>
> Naja, es ist ja
> [mm]\chi_F*v=\chi_F(F)(v)=(a_0*id_V+a_1*F+a_2*F^2)(v)=a_0*v+a_1*F(v)+a_2*F^2(v)=[unbekannt],[/mm]
> aber [mm]\chi_F(F)[/mm] müsste an der Stelle doch schon Null
> ergeben nach dem Satz?
Genau. Also ist [mm] $\chi_F \cdot [/mm] v = [mm] \chi_F(F)(v) [/mm] = 0(v) = 0$, wobei $0(v)$ die Nullabbildung angewendet auf $v$ ist.
> > > Für den trivialen Fall v=0 ist es klar dass die Null ein
> > > Torsionselement ist.
> >
> > Pass auf, welche Null du hier meinst! Du meinst den
> > Nullvektor [mm]0 \in V[/mm].
> >
> > > Also sind jetzt nur noch die Fälle,
> > > in denen [mm]f\not= 0[/mm] (Voraussetzung) und [mm]v\not=0[/mm] gilt, zu
> > > betrachten, z.B. für den einfachen Fall [mm]grad\; f = 0[/mm] -
> > > damit meine ich jetzt eine konstante Funktion [mm]f(x)=5*x^0[/mm] -
> > > gilt ja [mm]f*v=f(F)(v)=5*id_V(v)\not= 0[/mm]. Also gibt es für
> > > diesen Fall kein Torsionselement.
> >
> > So darfst du das nicht ausdruecken. Du willst sagen: es
> > gibt kein Torsionselement [mm]v[/mm], zu dem es ein [mm]f \in K[X] \setminus \{ 0 \}[/mm]
> > mit [mm]f \cdot v = 0[/mm] gibt mit [mm]\deg f = 0[/mm].
>
> OK, ich hatte es nur versucht so gut wie möglich zu
> beschreiben, was ich herausgefunden hatte ;)
> Aber wie finde ich nun noch heraus, ob es für [mm]grad\; f > 0[/mm]
> Torsionselemente gibt?
Fuer $grad [mm] \; [/mm] f = [mm] \grad \; \chi_F$ [/mm] folgt mit $f = [mm] \chi_F$, [/mm] dass $f [mm] \cdot [/mm] v = 0$ ist fuer jedes $v [mm] \in [/mm] V$. Siehe oben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.06.2012 | | Autor: | it123 |
Mir ist Punkt 3) noch nicht klar.
In Lineare Algebra 1 haben wir für die Multiplikation zweier Polynome definiert:
[mm] f(x)*g(x)=\summe_{i=0}^{m+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)X^i)
[/mm]
Eingesetzen ergibt dann:
[mm] (f_1 [/mm] * [mm] f_2)(F)(v)=(\summe_{i=0}^{n+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)X^i))(F)(v)=\summe_{i=0}^{n+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)F^i(v). [/mm] Aber weiter komme ich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 05.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mir ist Punkt 3) noch nicht klar.
> In Lineare Algebra 1 haben wir für die Multiplikation
> zweier Polynome definiert:
> [mm]f(x)*g(x)=\summe_{i=0}^{m+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)X^i)[/mm]
>
> Eingesetzen ergibt dann:
> [mm](f_1[/mm] *
> [mm]f_2)(F)(v)=(\summe_{i=0}^{n+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)X^i))(F)(v)=\summe_{i=0}^{n+n}(\summe_{j+k=i}a_j*b_k)F^i(v).[/mm]
> Aber weiter komme ich nicht.
Das ist auch spontan nicht so einfach.
Versuch doch mal von der anderen Seite her zu kommen und dich anzunaehern.
Also fang mit [mm] $(f_1(F) \circ f_2(F))(v)$ [/mm] an. Versuch auf das gleiche zu kommen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 10.06.2012 | | Autor: | triad |
Sei [mm] W\subseteq [/mm] V ein K-Untervektorraum von V.
Wie würde man die Äquivalenz W ist ein K[X]-Untermodul von V [mm] \gdw [/mm] W ist ein F-invarianter Untervektorraum, d.h. [mm] F(W)\subdeteq [/mm] W zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 10.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]W\subseteq[/mm] V ein K-Untervektorraum von V.
>
> Wie würde man die Äquivalenz W ist ein K[X]-Untermodul
> von V [mm]\gdw[/mm] W ist ein F-invarianter Untervektorraum, d.h.
> [mm]F(W)\subdeteq[/mm] W zeigen?
Beachte zuerst, dass jeder $K[X]$-Untermodul insb. auch ein $K$-Untermodul, also ein Untervektorraum ist.
Damit ein UVR ein $K[X]$-Untermodul ist, muss Multiplikation mit $X$ innerhalb des UVRs bleiben. Was bedeutet das konkret?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 10.06.2012 | | Autor: | triad |
> Moin!
>
> > Sei [mm]W\subseteq[/mm] V ein K-Untervektorraum von V.
> >
> > Wie würde man die Äquivalenz W ist ein K[X]-Untermodul
> > von V [mm]\gdw[/mm] W ist ein F-invarianter Untervektorraum, d.h.
> > [mm]F(W)\subdeteq[/mm] W zeigen?
>
> Beachte zuerst, dass jeder [mm]K[X][/mm]-Untermodul insb. auch ein
> [mm]K[/mm]-Untermodul, also ein Untervektorraum ist.
>
Ja, Vektorräume sind Spezialfälle der Moduln.
> Damit ein UVR ein [mm]K[X][/mm]-Untermodul ist, muss Multiplikation
> mit [mm]X[/mm] innerhalb des UVRs bleiben. Was bedeutet das
> konkret?
>
Das bedeutet, dass die Multiplikation mit X abgeschlossen sein muss?
> LG Felix
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei [mm]W\subseteq[/mm] V ein K-Untervektorraum von V.
> > >
> > > Wie würde man die Äquivalenz W ist ein K[X]-Untermodul
> > > von V [mm]\gdw[/mm] W ist ein F-invarianter Untervektorraum, d.h.
> > > [mm]F(W)\subdeteq[/mm] W zeigen?
> >
> > Beachte zuerst, dass jeder [mm]K[X][/mm]-Untermodul insb. auch ein
> > [mm]K[/mm]-Untermodul, also ein Untervektorraum ist.
> >
>
> Ja, Vektorräume sind Spezialfälle der Moduln.
Ist $R$ ein Koerper, so ist ein $R$-Modul ein $R$-Vektorraum und umgekehrt. Genau.
> > Damit ein UVR ein [mm]K[X][/mm]-Untermodul ist, muss Multiplikation
> > mit [mm]X[/mm] innerhalb des UVRs bleiben. Was bedeutet das
> > konkret?
>
> Das bedeutet, dass die Multiplikation mit X abgeschlossen
> sein muss?
Schau mal die Definition von Untermodul an. Ist $M$ ein $R$-Modul, so ist eine Untergruppe $(N, +) [mm] \subseteq [/mm] (M, +)$ doch genau dann ein $R$-Untermodul von $M$, wenn zu jedem $f [mm] \in [/mm] M$ und $n [mm] \in [/mm] N$ gilt $f [mm] \cdot [/mm] n [mm] \in [/mm] N$. Das bedeutet, dass $N$ abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit Elementen aus $R$ ist.
Hier ist $R = K[X]$. Damit also etwas ein $R$-Untermodul ist, muss es abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit Elementen aus $K[X]$ sein. Und somit auch insb. mit dem spezifischen Element $f = X$.
LG Felix
|
|
|
|
