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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 05.09.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Über ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 3 wird ein Kreis mit dem Radius 1 gelegt, wobei der Kreismittelpunkt auf dem Schwerpunkt des Dreiecks zu liegen kommt.
Welchen Umfang hat die neu entstandene Figur? |
Hallo,
Diese Aufgabe entstammt dem Känguru-Wettbewerb 2009 für die Klassenstufen 11-13.
Ich hab große Schwierigkeiten hier mal auf einen Ansatz zu kommen, obwohl ich natürlich die Formeln für den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks (U= 3*a) und Kreises (U= [mm] 2\pi [/mm] r) kenne.
Die Lösung soll 6+ [mm] \pi [/mm] sein, was mich vermuten lässt, dass die sichtbaren geraden Strecken alle die Länge 1 haben, so dass man auf die 6 kommt und dass die Hälfte des Kreisumfangs sichtbar wird, was [mm] \pi [/mm] entspricht.
Wenn man das jedoch so wie ich nicht spontan sieht, wie kommt man darauf? Wäre nett, wenns mir jemand erklären könnte. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Sa 05.09.2009 | | Autor: | weduwe |
dazu ein bilderl 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo ms2008de,
eine Möglichkeit, die aber eine gewisse Gewandtheit mit den Winkelfunktionen voraussetzt, wäre:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du berechnest erst die Höhe des Dreiecks. Du weißt, dass der Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks die Höhen im Verhältnis 2:1 teilt, also kennen wir die Strecke DG auf dem Bild.
Nun bringen wir noch die Voraussetzung ein, dass der Kreis den Radius 1 hat und natürlich die Strecke AB des gleichseitigen Dreiecks irgendwo schneiden muss. Im rechtwinkligen Dreieck DGJ kann man nun mit Hilfe der Winkelsätze sicher bestimmen, dass [mm] \delta [/mm] = 30° sein muss, also die beiden Schnittpunkte des Kreises mit dem Rand des gleichseitigen Dreiecks immer im Winkel von 60° = [mm] \beta [/mm] vom Mittelpunkt ausgehen. Also handelt es sich um kleine gleichseitige Dreiecke.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 05.09.2009 | | Autor: | weduwe |
ohne rechnen, mit den grundkenntnissen vom gleichseitigen dreieck:
der abstand des schwerpunktes von der seite s =3 beträgt [mm] d=\frac{1}{2}\sqrt{3} [/mm] und die mittelsenkrechte auf der der schwerpunkt liegt, steht senkrecht auf s. da der radius r = 1 beträgt, folgt sofort: es handelt sich um ein (halbes) gleichseitiges dreieck.
damit hat man:
[mm]U=6+\pi[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 So 06.09.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank nochmal an steppenhahn und weduwe für die ausführlichen Erläuterungen - Geometrie war eben nie meine ganz große Stärke. Habs nun aber verstanden.
Viele Grüße
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