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| Aufgabe | Der Boden eines 2km lagen Kanals hat die Form eoner Parabel mit f(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^{2}. [/mm] (Dazu Figur: Parabel von a= -4 bis b= 4; Einer Längeneinheit entspricht 1m in der Wirklichkeit).
a) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanals.
b) Wie vie Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist?
c) Wie viel Prozent der max. Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur bis zur halben Höhe gefüllt ist?
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Hallo MatheForum!
Ich habe Probleme mit der Teilaufgabe c) dieser Aufgabe (deren abgedruckte Skizze ich leider nicht darstellen kann. Ich hoffe es geht auh ohne.).
Also
a) und b) habe ich laut Lösungblatt richtig:
a)
A= 16 - [mm] \integral_{-4}^{4}{\bruch{1}{8}x^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{32}{3} m^{2}
[/mm]
b)
V= [mm] \bruch{32}{3}*2000 \approx [/mm] 21333 [mm] m^{3}
[/mm]
Bei c) verstehe ich aber den Lösungsschritt nicht:
Querschnittsfläche zur halben Höhe:
A*= [mm] 2\wurzel{8} [/mm] - [mm] \integral_{\wurzel{-8}}^{\wurzel{8}}{\bruch{1}{8}x^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2} \approx [/mm] 3,771 [mm] m^{2}
[/mm]
V*= [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2}*2000 \approx [/mm] 7543 [mm] m^{3}
[/mm]
[Und damot etwa 35% der max. Wassernemnge]
Mein Problem: Wie kommt man auf diese [mm] 2\wurzel{8}?
[/mm]
Wieso integriert man plötzlich von [mm] \wurzel{-8} [/mm] bis [mm] \wurzel{8} [/mm] ?
Da komm ich leider nicht mehr mit.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand diese Schritte (verständlich) erklären könnte!
Vielen Dank für die Hilfe.
LG Eli
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Hallo, die Fläche vom Kanal, der in Aufgabe c) bis zu einer Höhe von 1m befüllt wir, entspricht der hellblauen Fläche, das Intgral, welches du berechnest, entspricht der dunkelblauen Fläche, die hellblaue und dunkelblaue Fläche bilden gemeinsam ein Rechteck, mit der Länge [mm] 2*\wurzel{8} [/mm] und der Breite 1, du ziehst also von der Rechteckfläche dein Integral ab,
[Dateianhang nicht öffentlich]
befüllst du den Kanal bis zur Höhe von 1m, so gilt [mm] 1=\bruch{1}{8}x^{2} [/mm] also [mm] x^{2}=8, [/mm] also [mm] x_1=-\wurzel{8} [/mm] und [mm] x_2=\wurzel{8}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen, vielen Dank, Steffi, für deine Mühe!
Ich hab's verstanden!
LG Eli
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Jetzt habe ich noch eine Frage, die mit der obigen Aufgabe jedoch nichts mehr zu tun hat.
Höchstwahrscheinlich ist sie blöd. Ich komme gerade aber wirklich kein Stück weiter:
Ich frage mich nämlich, wie man [mm] (-x^{2} [/mm] + [mm] 3)^{2} [/mm] ausmultipliziert.
Es handelt sich ja um eine binomische Formel.
Nur weiß ich nicht, wie ich das Minus vor dem [mm] x^{2} [/mm] behandeln soll;
schließlich kann ich deshalb weder die Regel
[mm] (a+b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + 2ab + [mm] v^{2}
[/mm]
noch die Regel
[mm] (a-b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] - 2ab + [mm] b^{2} [/mm] (*)
anwenden.
Meine Idee war nun, [mm] -x^{2} [/mm] + 3 mit (-1) zu multiplizieren, sodass sich die Vorzeichen umkehren.
Und so könnte ich mit [mm] (x^{2}-3)^{2} [/mm] daher Regel (*) anwenden
--> [mm] x^{4}-6x^{2}+9
[/mm]
Das hätte ich dann wieder mit (-1) multipliziert, sodass "meine" Lösung
[mm] x^{2}-3)^{2} [/mm] = [mm] -x^{4}+6x^{2}-9
[/mm]
lauten würde.
Was falsch ist.
Kann mir jemand also sagen, wie ich [mm] (-x^{2} [/mm] + [mm] 3)^{2} [/mm] richtig "auflöse" und meiner Verwirrung ein Ende bereiten?
Bedanke mich schon im voraus dafür!
LG Eli
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Hallo,
du kannst doch Summanden vertauschen, rechne also [mm] (3-x^{2})^{2}, [/mm] gefällt es dir so besser, du kannst natürlich auch rechnen:
[mm] a=-x^{2}
[/mm]
b=3
[mm] a^{2}=x^{4} [/mm] (minus mal minus gibt plus)
[mm] 2*a*b=-6x^{2}
[/mm]
[mm] b^{2}=9
[/mm]
Steffi
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