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| Aufgabe | Ein Schiff, das als Schiffszeichen zwei goldene Dolche trägt, ankert zwecks Alkoholbeschaffung vor einer Insel.
Heimtückisch hat sich bei Nacht und Nebel auch ein feindliches Schiff der Insel genähert; der lauert nun versteckt hinter einem Hügel auf der Gegenseite der Insel in 1732 Fuss Entfernung vom ursprünglichen Schiff. Der grausame Pirat Roberts plant, mit der grossen Zwölfpfünder (Maximale Schussweite m = 2000 Fuss) dem Rumpf des zur Beladung haltenden Schiffes über den Hügel hinweg einen Volltreffer zu versetzen, um sie danach in aller Ruhe entern zu können.
a) Das Azimut und die Entfernung sind bekannt - doch in welchem Winkel muss die Kanone abgefeuert werden, um das verlockende Ziel über den 563 Fuss hohen Inselberg hinweg zu treffen? |
also für y (der Wurfweite) gilt (glaub ich zumindest) doch:
[mm] y=t*v0*cos(\alpha)
[/mm]
m.... maximale "Wurfweite" ist mir bekannt
Wurfweite w...... 1732 Fuss
und für die Wurfhöhe:
[mm] z=t*v0*sin(\alpha)
[/mm]
________________________________________________________
(1) vernachlässigen wir h, sprich sei die Höhe des "Piratenschiffes" h=0.
Wir haben eine Auswahl von Formel bekommen und sollen zeigen welche gilt für
(a) die maximale Wurfhöhe δ
a) δ(α) = cos(mα), b) δ(α) = m sin(2α), d) δ(α) = 2m sin(α), e) δ(α) = mβ(α) cos(2α).
Wie kann ich das herleiten wenn doch in der Formel oben ein v ist? oder muss ich mit einer anderen Formel arbeiten, wenn ja, dann bitte welche
Danke im Voraus
newflemmli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die maximale Wurfweite (ohne Reibung) erreicht man wenn der Abschusswinkel 45° ist. Das habt ihr sicher schon gemacht.
deshalb kannst du aus m die Anfangsgeschw. [mm] v_0 [/mm] ausrechnen.
erst wenn du die hast, kannst du weiter rechnen.
d,h, du musst den Winkel ausrechnen unter dem man mit dem [mm] v_0 [/mm] die 1732 Fuss
erreicht, und dazu die maximale Höhe.
dein y ist richtig, dein z nicht, in y Richtung ist die Geschw konstant, in z-Richtung aber nicht! ausserdem steht da ja noch ne unbekannte Zeit.
Am besten du schreibst erstmal [mm] v_y(t), [/mm] y(t) und [mm] v_z(t), [/mm] z(t) auf.
dann kann man losrechnen.
direkt sehen solltest du dass cos(mα) sicher falsch ist. denn cos(Länge) gibts nicht. und [mm] m*\alpha [/mm] wär ne Länge.
Gruss leduart
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Hmm aber wie komme ich auf das vo
1732 = t * vo * cos(45)
ich kenne dich t nicht?
hilft mir v=s/t irgendwie weiter?
und für z fehlt mir die "Fallbewegung" oda? also einfach - g/2 * [mm] t^2?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du [mm] v_0 [/mm] bestimmt?
2. warum nicht die vier Gesetze ,die ich gesagt habe aufschreiben?
3. du kannst die Zeit ausrechnen wenn du z(t) kennst. was ist das bei 1732?
Gruss leduart
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also ich schreib es jetzt so:
Die 4 Gesetze:
Wurfhöhe h = v0 * sin (a) - 0,5g * [mm] t^2
[/mm]
v0,h = vo * sin (a)
Wurfweite w = v0 * sin (a) * t
v0,w = v0 * cos(a)
mit t=w/(v*cos (a)), in h eingesetzt ergibt sich:
h= v0 * sin(a) * [mm] \bruch{w}{vo*cos(a)} [/mm] - [mm] \bruch{w^2}{vo^2*cos(a)^2} [/mm] * 0,5g
das bekomme ich dann raus.
Frage: nur wie hilft mir das t0 zu bestimmen, ich versehe es einfach nicht
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Hallo newflemmli,
> also ich schreib es jetzt so:
>
> Die 4 Gesetze:
> Wurfhöhe h = v0 * sin (a) - 0,5g * [mm]t^2[/mm]
> v0,h = vo * sin (a)
>
> Wurfweite w = v0 * sin (a) * t
> v0,w = v0 * cos(a)
>
>
> mit t=w/(v*cos (a)), in h eingesetzt ergibt sich:
>
> h= v0 * sin(a) * [mm]\bruch{w}{vo*cos(a)}[/mm] -
> [mm]\bruch{w^2}{vo^2*cos(a)^2}[/mm] * 0,5g
>
> das bekomme ich dann raus.
>
> Frage: nur wie hilft mir das t0 zu bestimmen, ich versehe
> es einfach nicht
>
[mm]t_{0}[/mm] kannst Du aus dieser Gleichung nicht bestimmen,
wohl aber [mm]v_{0}[/mm]
Dazu mußt Du wissen, daß für die maximale Wurfweite
die Wurfhöhe h gleich 0 ist.
Löse also
[mm]0= v0 * sin(a) * \bruch{w}{vo*cos(a)} - \bruch{w^2}{vo^2*cos(a)^2} * 0,5g[/mm]
nach [mm]v_{0}[/mm] auf.
Gruss
MathePower
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also ich rechne in SI Einheiten
Maximale Wurfweite = 2000 Fuss [mm] \gdw [/mm] 610 Meter
und Alpha = 45° wenn max. Wurfweite
mit h=0 beim "Endpunkt" nach 610m
w=610m
g=10
610 tan(a) - 0,5 * 10 * [mm] \bruch{610^2}{(cos(a))^2*v^2} [/mm] = 0
mit a = 45
ergibt sich für mich ein v [mm] \approx [/mm] 82,603 kann das sein?
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Hallo, du hast aber die Aufgabe inhaltlich noch nicht verstanden, du hast die Anfangsgeschwindigkeit berechnet für die Annahme, deine Kanone schießt 2000 ft (609,6m) unter einem Abwurfwinkel von [mm] 45^{0}, [/mm] damit triffst du aber das andere Schiff unter Garantie nicht, es ist nur 1732ft (527,9m) entfernt, verstanden, unabhängig davon, ist dein Ergebnis falsch, die Anfangsgeschwindigkeit wäre unter deiner Annahem [mm] v_0=78,1\bruch{m}{s}, [/mm] du sollst also nur 527,9m weit schießen, jetzt kommt aber noch ein Problem, du mußt über den Berg schießen, dahinter steckt die Wurfhöhe, Steffi
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> Hallo, du hast aber die Aufgabe inhaltlich noch nicht
> verstanden, du hast die Anfangsgeschwindigkeit berechnet
> für die Annahme, deine Kanone schießt 2000 ft (609,6m)
> unter einem Abwurfwinkel von [mm]45^{0},[/mm] damit triffst du aber
> das andere Schiff unter Garantie nicht, es ist nur 1732ft
> (527,9m) entfernt, verstanden, unabhängig davon, ist dein
> Ergebnis falsch, die Anfangsgeschwindigkeit wäre unter
> deiner Annahem [mm]v_0=78,1\bruch{m}{s},[/mm] du sollst also nur
> 527,9m weit schießen, jetzt kommt aber noch ein Problem,
> du mußt über den Berg schießen, dahinter steckt die
> Wurfhöhe, Steffi
Hallo Steffi,
ich befürchte, dass hier du dich etwas geirrt hast. Die
Angabe mit der maximal überhaupt möglichen Schussweite
von 2000 ft braucht man für die vorbereitende Aufgabe,
in welcher erst einmal die Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] berechnet
werden muss, mit welcher die Kanonenkugel die Mündung
des Kanonenrohrs verlässt.
Unterschiedliche Schussweiten kann man ja dann nur
dadurch erzielen, indem man den Neigungswinkel [mm] \alpha
[/mm]
des Kanonenrohrs entsprechend einstellt - und nicht
dadurch, dass man die Kugel mit unterschiedlichen Start-
geschwindigkeiten abschießt, was natürlich durch unter-
schiedlich große Sprengstoffladungen auch realisiert
werden könnte.
Die zweite Aufgabe (nach der Berechnung von [mm] v_0) [/mm] ist
dann die Suche nach jenem (oder jenen) [mm] \alpha, [/mm] für welche(s)
die Wurfweite gleich 1732 ft wird.
Eine dritte Überlegung schließt sich dann noch an.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 09.11.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Al-Chwarizmi, ich wollte in meiner Überlegung [mm] v_0 [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ändern, so habe ich die Aufgabe interpretiert, offenbar ist die Aufgabe so zu verstehen, [mm] v_0 [/mm] ist eine feste Größe, ich kann die Wurfweite nur über [mm] \alpha [/mm] ändern, was meint ihr zu meiner Interpretation? Wenn ich falsch liege, sorry an den Aufgabensteller, Steffi
ich habe mal mit FunkyPlot "gespielt", habe [mm] v_0 [/mm] und [mm] \alpha [/mm] variert, in der Annahme mir steht [mm] v_0=77,3\bruch{m}{s} [/mm] maximal zur Verfügung, die ich aber nicht ausnutzen muß, die rote wurfparabel ist natürlich nicht möglich, die Höhe vom Berg wird nicht erreicht
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 09.11.2010 | | Autor: | newflemmli |
Es ist tatsächlich so gemeint das vo eine konstante Größe ist ^^. wir dürfen das sogar annehmen das v0=const., sowie h=0 im Anfangspunkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Di 09.11.2010 | | Autor: | newflemmli |
und mit welcher formel spielst du herum? was ist denn nun genau meine Formel für meine Wurfparabel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
Piraten haben diese altmodischen Kanonen, aus denen die Kugeln immer gleich schnell rausfliegen, auf jeden Fall können sie [mm] v_0 [/mm] nicht regeln. wenn sie also kürzer s hiessen wollen müssen sie steiler (oder flacher) als 45° schiessen. gesucht ist der größere Winkel, mit dem sie 528m erreichen. die maximale Höhe ergibt sich dan u nd reicht, oder eben nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 09.11.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo leduart, na gut
> Piraten haben diese altmodischen Kanonen, aus denen die
> Kugeln immer gleich schnell rausfliegen, auf jeden Fall
> können sie [mm]v_0[/mm] nicht regeln.
>
wollte die Aufgabe eben etwas moderner betrachten, [mm] v_0 [/mm] ist regelbar, dass bei [mm] v_0=const. [/mm] es nur über den winkel geht, ist mir schon klar,
Steffi
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> also ich rechne in SI Einheiten
>
> Maximale Wurfweite = 2000 Fuss [mm]\gdw[/mm] 610 Meter ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und Alpha = 45° wenn max. Wurfweite
>
> mit h=0 beim "Endpunkt" nach 610m
> w=610m
> g=10
>
> 610 tan(a) - 0,5 * 10 * [mm]\bruch{610^2}{(cos(a))^2*v^2}[/mm] = 0
> mit a = 45
>
> ergibt sich für mich ein v [mm]\approx[/mm] 82,603 kann das sein?
Hallo nf,
Ich habe für die Wurfweite W die Formel [mm] W=\frac{{v_0}^2}{g}*sin(2\,\alpha) [/mm]
hergeleitet und für g den Wert 9.81 [mm] m/s^2 [/mm] verwendet und bin
damit auf die Kanonenschussgeschwindigkeit [mm] v_0\approx [/mm] 77.3 m/s
gekommen.
LG Al-Chw.
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habs mit den genauen Werten nachgerechnet und komme auf das richtige v0 :D,
Jetzt muss ich mir nur noch überlegen wie ich den winkel einstellen muss, und dafür brauch ich die h Funktion oder?
Nur wie stelle ich sicher, dass ich in der Entfernuzt aung auch tatsächlich über den Berg schieße?
Vorallem stört mich nun wieder das bösartige t, denn die Wurfhöhe hängt ja von t ab, weil die Erdanziehung die Beschleunigung verändert oder?
Aber ich hab noch immer nicht die Antwort auf die erste Frage, denn welche formel stimmt den nun?
den ich muss das in abhängigkeit von m darstellen. Intuitiv hätte ich jetzt auf m*sin(2a) getippt.
und für die maximale Schusshöhe hätte ich dann gesagt:
Wurfweite(a) / 2 = Wurfmaxhöhe(a), weil es ja eine parabel ist oder? Kann mir wer den Ansatz zeigen ? langsam versteh ich es immer besser :D
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> Jetzt muss ich mir nur noch überlegen wie ich den winkel
> einstellen muss, und dafür brauch ich die h Funktion
> oder?
>
> Nur wie stelle ich sicher, dass ich in der Entfernuzt aung
> auch tatsächlich über den Berg schieße?
Am besten denkt man sich die Sache zuerst ganz ohne
den Berg, der der Kugel allenfalls im Weg stehen könnte.
> Vorallem stört mich nun wieder das bösartige t, denn die
> Wurfhöhe hängt ja von t ab, weil die Erdanziehung die
> Beschleunigung verändert oder?
was ist denn da bösartig ?
Aufgelöst in die horizontale und die vertikale Komponente:
$\ x(t)\ =\ [mm] v_x*t$
[/mm]
$\ y(t)\ =\ [mm] v_y*t-\frac{g}{2}*t^2$
[/mm]
Damit kann man alles Weitere, was noch interessiert, in
der Art einer gewöhnlichen Kurvendiskussion untersuchen.
> Aber ich hab noch immer nicht die Antwort auf die erste
> Frage, denn welche formel stimmt den nun?
> den ich muss das in abhängigkeit von m darstellen.
> Intuitiv hätte ich jetzt auf m*sin(2a) getippt.
>
> und für die maximale Schusshöhe hätte ich dann gesagt:
>
> Wurfweite(a) / 2 = Wurfmaxhöhe(a), weil es ja eine parabel
> ist oder? Kann mir wer den Ansatz zeigen ? langsam versteh
> ich es immer besser :D
Ich würde dir empfehlen, die Frage a) am Schluss zu betrachten,
wenn du das Ganze mit deinen eigenen Gedanken durchdrungen
hast ...
Mich stört an der Aufgabenstellung ein wenig das m, das zuerst
als konstant vorgegebene maximale Schussweite der Kanone
eingeführt wurde. Nun kann die Kanone ihre maximale Weite nur
beim Abschusswinkel [mm] \alpha [/mm] = 45° erreichen.
Für die maximal erreichte Höhe bei einem Abschusswinkel [mm] \alpha
[/mm]
habe ich erhalten: $\ [mm] y_{max}\ [/mm] =\ [mm] \frac{{v_0}^2}{2\,g}*sin^2(\alpha)$
[/mm]
Dies kann ich nun mit keinem der angegebenen [mm] \delta [/mm] - Werte identifizieren.
Oder war da vielleicht mit m doch plötzlich was anderes gemeint ? ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
um Klarheit zu verbreiten noch mal die Formeln:
[mm] v_x(t)=v_0*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] x(t)=v_0*cos(\alpha)*t
[/mm]
[mm] v_y(t)=v_0*sin(\alpha)-gt
[/mm]
[mm] y=v_0*sin(\alpha)*t-g/2t^2
[/mm]
Höhe ist erreicht bei [mm] v_y(th)=0
[/mm]
also [mm] v_0*sin(\alpha)-gt_h=0 t_h=1/g*v_0*sin(\alpha)
[/mm]
da man ohne Reibung arbeitethat man ne echte Parabel, die Kugel braucht solange rauf wie runter, deshalb [mm] t_w=2t_h
[/mm]
und damit [mm] x(t_w)=w=v_o*cos(\alpha)*2/g*v_0*sin(\alpha)
[/mm]
und mit [mm] 2sin(\alpha)*cos(\alpha)=sin(2*\alpha)
[/mm]
[mm] w=*v_0^2/g*sin(2\alpha)
[/mm]
mit w=m [mm] 2\alpha)=90° [/mm] hat man [mm] v_0^2=610m*9,81m/s^2
[/mm]
[mm] v_0=73,4m/s
[/mm]
jetzt will man w=528m
also [mm] 528m=610m*sin(2\alpha) [/mm] daraus [mm] 2\alpha
[/mm]
Vorsicht, 2 Werte, der TR liefer nur einen (ca60°) aber man muss den grösseren [mm] 180-2\alppa [/mm] nehmen.
dazu rechnet man dann mit der Formel oben [mm] t_h [/mm] aus, darau [mm] y_h=h [/mm] und das reicht oder nicht, um über den Hügel zu kommen.
Aber so wie ich oben sollte man erstmal sehr genau alle benötigten gleichungen aufschreiben und nicht mit irgendwelchen bunt rausgesuchten rumfummeln.
Gruss leduart
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Hallo,
mir ist nicht ganz klar, wie die Piraten es bewerkstelligen,
bei Nacht und Nebel die Position des anderen Schiffs, das
hinter dem Berg, auf der anderen Seite der Insel ankert,
auf den Fuß genau zu ermitteln. Sie müssen offenbar
auf dem eigenen Schiff GPS haben (das ist bei modernen
Piraten nichts aussergewöhnliches), sie müssen aber wohl
am anderen Schiff ebenfalls ein GPS-Gerät mit Funksender
angebracht haben, um dessen genaue Position übermittelt
zu bekommen ...
Um wirklich genau zu beurteilen, ob eine Kanonenkugel
wirklich von Schiff A über den Berg zu Schiff B gelangen
kann, müsste man noch genaueres wissen über das
vertikale Profil des Berges in der Ebene der Schussbahn.
Übrigens noch ein wichtiger Hinweis für die Rechnungen:
die physikalischen Rechnungen sollte man sinnvollerweise
in SI-Einheiten durchführen, d.h. die in Fuß angegebenen
Distanzen müssen in Meter umgerechnet werden, sonst
geht das z.B. mit dem g (Grav.konstante) schief !
(man könnte natürlich auch in einem Fuß-Sekunden-
system rechnen und dazu zuerst den Zahlenwert der
entsprechenden g-Konstante berechnen)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 09.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
kann es sein, dass in deinem Katalog möglicher Lösungen c) fehlt ?
Vielleicht c) [mm] \delta (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}*sin^2\alpha [/mm] ?
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 09.11.2010 | | Autor: | newflemmli |
c fehlt, ist aber : m * [mm] cos(a^2)
[/mm]
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