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Hi! Stecke gerade bei folgender Aufgabe fest:
Sei G eine Gruppe und sei N Normalteiler von G.
[mm] \pi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G/N : g [mm] \mapsto [/mm] gN
Beweisen Sie: Die Menge {U | N [mm] \le [/mm] U [mm] \le [/mm] G} wird durch U [mm] \mapsto U^{ \pi} [/mm] bijektiv auf die Menge von Untergruppen von G/N abgebildet.
Ich habe bereits bewiesen, dass G/N mit der Multiplikation gN*hN := ghN eine Gruppe mit Neutralelement N ist und außerdem, dass die kanonische Projektion [mm] \pi [/mm] ein Epimorphismus mit Kern N ist. Jetzt weiß ich aber leider nicht mehr weiter... Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Fr 06.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Du musst die beiden Richtungen am besten getrennt beweisen: falls [mm]N\le U[/mm] ist, kannst du dann zeigen, daß [mm]U/N[/mm] Untergruppe ist? Inverses Element von uN, einfach mal zwei Elemente uN und vN miteinander "multiplizieren". Das ist beides nicht schwer.
Andere Richtung: transportiere doch eine Untergruppe mittels der Projektion zurück. Warum ist N drin? Die restlichen Eigenschaftebn sind auch nicht sehr schwer. Probier mal,mit dieser Anleitung das zu beweisen!
SEcki
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