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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:38 So 24.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Es ist C: p = 1 + [mm] cos\alpha [/mm] die Polarform einer Kardioide.
Nun sei t = [mm] tan(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] Zeigen sie, dass die parametrische Koordinatenform von C
x = [mm] 2\bruch{1 - t^2}{(1 + t^2)^2} [/mm] und
y = [mm] \bruch{4t}{(1 + t^2)^2} [/mm] ist und berechnen Sie die Länge von C |
Also ich hab die Gleichung in kartesischen Koordinaten , die ist [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] x)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] (die war gegeben). Muss ich jetzt die parametrische Form da einsetzen? Das wäre ja eine riesige Rechnerei Und was soll dann am Ende rauskommen? Zur Längenberechnung hab ich keine Ahnung. Danke für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Danke, aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen. Kann mir irgendwer einen Ansatz geben. Bitte!!!
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Hallo SEBBI001,
> Danke, aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen. Kann
> mir irgendwer einen Ansatz geben. Bitte!!!
Nun, der Radius der Kardioide ist gegeben durch
[mm]p=1+\cos\left(\alpha\right)[/mm]
Weiterhin ist
[mm]x=p*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm]y=p*\sin\left(\alpha\right)[/mm]
Um jetzt zur angegebenen Parameterdarstellung zu kommen, löse
[mm]t=\tan\left(\bruch{\alpha}{2}\right)[/mm]
nach [mm]\alpha[/mm] auf, und setze das dann
in die entsprechenden Gleichungen ein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 26.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Danke, das hab ich jetzt dank deines Hinweises rausbekommen. Und wie ist das nun mit der Länge??
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Hallo SEBBI001,
> Danke, das hab ich jetzt dank deines Hinweises
> rausbekommen. Und wie ist das nun mit der Länge??
Nun, da mußt Du das Integral
[mm]\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{\wurzel{ \left( \ \dot{x}\left(t\right) \ \right)^{2} + \left( \ \dot{y}\left(t\right) \ \right)^{2}}\ dt}[/mm]
auswerten.
Gruß
MathePower
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http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)
