Kardinalität einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Di 21.11.2006 | | Autor: | sanni85 |
| Aufgabe | | Die Kardinalität card(G) der Gruppe G sei eine Primzahl. Beweisen Sie, dass G zyklisch ist und geben Sie die Anzahl der Erzeuger von G an! |
Ich habe im Moment keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen muss. Bin dankbar für jeden Denkanstoß. Die Erzeugeranzahl ist nicht so mein Problem, aber der Beweis, dass G zyklisch sein soll.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Sei |G| = p, p Primzahl.
Sei g [mm] \in [/mm] G, g [mm] \not= [/mm] 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 < o(g) und o(g) teilt |G| = p
[mm] \Rightarrow [/mm] o(g) = p. [mm] \Box
[/mm]
Erklärung:
D.h. jedes Element, das nicht gleich 1 ist, hat Ordnung p und somit ist
[mm] g^{p} [/mm] = 1,
[mm] g^{n} \not= [/mm] 1 und paarweise verschieden, 1 < n < p
denn sonst wäre [mm] g^{i} [/mm] = [mm] g^{j} [/mm] = [mm] g^{i+l} [/mm] = [mm] g^{i} \* g^{l} \Rightarrow g^{l} [/mm] = 1 Widerspruch, da 1 < i,j,l < p.
Also jedes von 1 verschiedene Element wäre dann ein erzeugendes Element. Damit sind wir auch schon bei der Kardinalität der Erzeugermenge:
Die müsste dann |G|-1 sein.
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