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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Taro |
| Aufgabe | | Man beweise, dass jede unendliche Kardinalzahl eine Limeszahl ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
dieses Aussage wäre zu zeigen
Ich weiß nicht wie verbreitet das w ist,
[mm] |\IN|=w= [/mm] kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl und Limeszahl
Folgenden Beweis hätte ich anzubieten:
Sei X eine beliebige abzählbar unendliche Menge
Sei a die Kardinalzahl von X
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine bijektion [mm] f:\IN \to [/mm] X
[mm] \Rightarrow [/mm] Die beiden Mengen sind gleichmächtig
[mm] \Rightarrow [/mm] a= [mm] |X|=|\IN| [/mm] = w
[mm] \Rightarrow [/mm] a ist eine Limeszahl
Vielen Dank schon mal fürs durchlesen
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Hallo Taro,
nein, das kann so nicht stimmen. Lies dir zunächst einmal die Definition von Kardinalzahl durch. Ich nehme an, ihr habt Kardinalzahlen als spezielle Ordinalzahlen definiert. Eine Ordinalzahl, welche kein Nachfolger einer anderen Zahl ist, heißt Limesordinalzahl. Dies ist zu zeigen für unendliche Kardinalzahlen.
Das hat nichts abzählbaren Mengen zu tun, wie das $ X $, welches du betrachtest, und auch sonst solltest du keine mehr oder weniger beliebige Mengen betrachten, sondern nur Kardinalzahlen. Da es verschiedene Möglichkeiten gibt, diese zu definieren, kann ich dir leider nicht sagen, wie ihr das gemacht habt.
In jedem Fall wird der Beweis aber vermutlich recht einfach, wenn du dir die Begrifflichkeiten erstmal klar machst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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