Karten ziehen - Grundsätze < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Alyana |
| Aufgabe 1 | | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus einem Skatspiel im 4. Zug eine Dame gezogen wurde, wenn im 1. Zug ein Ass, im 2. eine Dame und im 3. ein Bube gezogen wurden. Einmal gezogene Karten werden nicht zurückgelegt. |
| Aufgabe 2 | | Wie groß ist beim Skatspiel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach dreimaligem Ziehen (ohne Zurücklegen) die 3. Karte ein Ass ist, wenn schon die ersten beiden gezogenen Karten Asse gewesen sind? |
| Aufgabe 3 | | Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die die 2. gezogene Karte ein Ass ist, wenn bereits die 1. ein Ass war? |
| Aufgabe 4 | | Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die die 2. gezogene Karte ein Ass ist? |
Hallo!
Ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem. :(
Bei den o.g. Aufgaben habe ich 4 verschiedene Lösungswege vorliegen und ich erkenne nicht den Unterschied bzw. wann ich was benutzen soll, da sich diese Aufgaben - meiner Meinung nach - alle ähneln.
Folgende Lösungen hab ich:
Aufgabe 1
1. Zug: Ass noch 4 Damen
2. Zug: Dame noch 3 Damen
3. Zug: Bube noch 3 Damen
also P(A)= [mm] \bruch{3}{29} [/mm]
Aufgabe 2
1. Karte: Ass --> P(A)= [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
2. Karte: Ass --> P(B)= [mm] \bruch{3}{31}
[/mm]
also ist die Wahrscheinlichkeit [mm] P(A\cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{3}{31} *\bruch{2}{30}
[/mm]
Aufgabe 3
Da habe ich die Lösung [mm] \bruch{8}{31} [/mm] vorliegen, wobei ich darauf aber selbst nicht komme. Ich würde es wie bei Aufgabe 2 machen und bekäme dann [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{3}{31} [/mm] raus
Mir macht auch die Zeit Probleme: wann wird welche Karte gezogen.
Aufgabe 4
Angenommen, die 1. Karte sei kein Ass. Dann bleibt die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{3}{31}. [/mm]
Folgende konkrete Fragen habe ich:
Warum wird nicht alles mit bedingter Wahrscheinlichkeit (Aufgabe 2) bzw. alles ohne (Aufgabe 1) gerechnet?
Wo liegen die Unterschiede zwischen den Aufgaben, an denen ich die unterschiedlichen Rechenwege ausmachen kann?
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus einem
> Skatspiel im 4. Zug eine Dame gezogen wurde, wenn im 1. Zug
> ein Ass, im 2. eine Dame und im 3. ein Bube gezogen wurden.
> Einmal gezogene Karten werden nicht zurückgelegt.
Es sind 29 Karten übrig, 3 davon sind Damen, also [mm] $\frac{3}{29}$
[/mm]
> Wie groß ist beim Skatspiel die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass nach dreimaligem Ziehen (ohne Zurücklegen)
> die 3. Karte ein Ass ist, wenn schon die ersten beiden
> gezogenen Karten Asse gewesen sind?
Es sind 30 Karten übrig, 2 davon sind Asse, also [mm] $\frac{2}{30}$
[/mm]
> Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach
> gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> die die 2. gezogene Karte ein Ass ist, wenn bereits die 1.
> ein Ass war?
Es sind 31 Karten übrig, 3 davon sind Asse, also [mm] $\frac{3}{31}$
[/mm]
> Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach
> gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> die die 2. gezogene Karte ein Ass ist?
> Hallo!
Hier muß man Aufteilen:
Möglichkeit 1: Die erste Karte ist kein Ass
Möglichkeit 2: Sie ist eins.
Die Wkeit von: 1. Kein Ass, 2. schon ist [mm] $\frac{28}{32}*\frac{4}{31}$
[/mm]
Die Wkeit von Möglichkeit 2 entsprechend [mm] $\frac{4}{32}*\frac{3}{31}$
[/mm]
Die Wkeiten addiert man dann (Da die Möglichkeiten sich gegenseitig ausschließen, die erste Karte kann nicht beides sein, gibt es keine Überlappung, also kann man addieren)
Sauberer:
A:="1. Karte ist Ass"
B:="2. Karte ist Ass"
Mit den Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten, die Ihr entweder gerade hattet oder bald haben werdet, kommt man dann auf:
$P(B) = P(B|A)*P(A) + [mm] P(B|A^c)*P(A^c)$
[/mm]
> Ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem. :(
>
> Bei den o.g. Aufgaben habe ich 4 verschiedene Lösungswege
> vorliegen und ich erkenne nicht den Unterschied bzw. wann
> ich was benutzen soll, da sich diese Aufgaben - meiner
> Meinung nach - alle ähneln.
Entweder sind die Aufgaben falsch gestellt, oder die Lösungen sind falsch.
> Aufgabe 1
> 1. Zug: Ass noch 4 Damen
> 2. Zug: Dame noch 3 Damen
> 3. Zug: Bube noch 3 Damen
>
> also P(A)= [mm]\bruch{3}{29} [/mm]
Das stimmt.
>
>
> Aufgabe 2
> 1. Karte: Ass --> P(A)= [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
> 2. Karte: Ass --> P(B)= [mm]\bruch{3}{31}[/mm]
>
> also ist die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A\cap[/mm] B) =
> [mm]\bruch{1}{8}*\bruch{3}{31} *\bruch{2}{30}[/mm]
Ok, das ist Quark in mehrerlei Hinsicht.
Hier mal einen Ausflug ins Rechnen.
> Wie groß ist beim Skatspiel die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass nach dreimaligem Ziehen (ohne Zurücklegen)
> die 3. Karte ein Ass ist, wenn schon die ersten beiden
> gezogenen Karten Asse gewesen sind?
Das ist eine bedingte Wkeit. "3. Karte ist Ass unter der Bedingung, daß erste und zweite Ass waren"
In Mengenschreibweise willst Du:
A:= 1. Karte Ass
B:= 2. Karte Ass
C:= 3. Karte Ass
gesucht: $P(C\ |\ [mm] A\cap [/mm] B)$ "C tritt ein, unter der Bedingung, daß A und [mm] ("$\cap$") [/mm] B es getan haben"
Das kann man nach Definition der bed. Wkeit umschreiben:
$P(C\ |\ [mm] A\cap B)=\frac{P(C\cap A\cap B)}{P(A\cap B)}$
[/mm]
Aber damit macht man sich das Leben nur schwerer.
"3. Karte ist Ass unter der Bedingung, daß erste und zweite Ass waren" heißt ja wie oben geschrieben, daß 2 Asse unter 30 Karten übrig sind. Das kann man direkt hinschreiben.
[mm] "$A\cap [/mm] B$" ist "1. und 2. sind Ass, das ist
[mm] $P(A\cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{8}*\bruch{3}{31}$
[/mm]
Man betrachte hier die 2 Herangehensweisen:
1. direkt: [mm] $A\cap [/mm] B$ = "1. und 2. sind Ass". Wieviel Möglichkeiten gibt's 2 aus den 4 Assen zu ziehen? 2 aus 4: [mm] ${4\choose 2}$
[/mm]
Wieviel Möglichkeiten gibt's insgesamt 2 aus den 32 Karten zu ziehen? 2 aus 32: [mm] ${32\choose 2}$
[/mm]
[mm] $\frac{{4\choose 2}}{{32\choose 2}}$
[/mm]
2. über bedingte Wkeit:
[mm] $P(A\cap [/mm] B) = P(B\ |\ A)P(A)$
P(A) ist klar und $P(B\ |\ A)$ ist "wir haben 31 Karten übrig, 3 davon Asse", also auch klar
Es gibt also durchaus Fälle, wo man auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommt:
[mm] $P(A\cap B)=\frac{{4\choose 2}}{{32\choose 2}}= \bruch{1}{8}*\bruch{3}{31}$
[/mm]
(ist das gleiche, einfach nachrechnen)
Was Du geschrieben hast, ist [mm] $P(A\cap B\cap C)=\bruch{1}{8}*\bruch{3}{31} *\bruch{2}{30}$, [/mm] also die Wkeit "1., 2. und dritte Karte ist ein Ass", was nicht gefragt war, aber über
$P(C\ |\ [mm] A\cap B)=\frac{P(C\cap A\cap B)}{P(A\cap B)}=\frac{2}{30}$
[/mm]
auch zum Ziel führen kann.
Es bringt nur nix, es so zu machen, weil Du weder [mm] $P(C\cap A\cap [/mm] B)$ noch [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ brauchst, wenn Du [mm] $\frac{2}{30}$ [/mm] einfach so ablesen kannst.
>
>
> Aufgabe 3
> Da habe ich die Lösung [mm]\bruch{8}{31}[/mm] vorliegen, wobei
> ich darauf aber selbst nicht komme. Ich würde es wie bei
> Aufgabe 2 machen und bekäme dann
> [mm]\bruch{1}{8}*\bruch{3}{31}[/mm] raus
>
Das ist wie auch schon eben erklärt P("1. Karte ist Ass")*P("2. Karte ist Ass, gegeben daß die erste ein Ass war")=P("1. und 2. ist Ass")
gefragt ist aber
P("2. Karte ist Ass, gegeben daß die erste ein Ass war")
Nochmal: [mm] $A\cap [/mm] B$ = "A und B"
$ B|A$ = " B gegeben A"
Beim einen fragen wir uns, bevor wir die erste ziehen, was die Wkeit ist, daß A und B eintreten. Beim anderen haben wir die erste gezogen, A ist eingetreten, und wir wollen jetzt wissen, was die Wkeit ist, daß B eintritt.
Die Beziehung ist
[mm] $P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\quad \Leftrightarrow\quad [/mm] P(B|A)*P(A) = [mm] P(B\cap [/mm] A)$
>
> Aufgabe 4
> Angenommen, die 1. Karte sei kein Ass. Dann bleibt die
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{3}{31}.[/mm]
Wenn die erste kein Ass ist, dann sind noch alle 4 Asse da. Außerdem brauchst Du noch die Möglichkeit, daß die erste ein Ass ist.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Alyana |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Du hast das - was den "naiven" Rechenweg anbelangt, klarer machen können. :) Ich habe jedoch noch eine Frage:
> > Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach
> > gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> > die die 2. gezogene Karte ein Ass ist, wenn bereits die 1.
> > ein Ass war?
>
> Es sind 31 Karten übrig, 3 davon sind Asse, also
> [mm]\frac{3}{31}[/mm]
>
>
> > Zwei Karten werden ohne Zurücklegen der Reihe nach
> > gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> > die die 2. gezogene Karte ein Ass ist?
> >
>
> Hier muß man Aufteilen:
> Möglichkeit 1: Die erste Karte ist kein Ass
> Möglichkeit 2: Sie ist eins.
>
> Die Wkeit von: 1. Kein Ass, 2. schon ist
> [mm]\frac{28}{32}*\frac{4}{31}[/mm]
> Die Wkeit von Möglichkeit 2 entsprechend
> [mm]\frac{4}{32}*\frac{3}{31}[/mm]
>
Warum kann ich bei dieser Aufgabe nicht, wie bei den vorherigen einfach
rechnen:
1. Karte ist kein Ass, 2. schon:
1. Zug ---> 4 Asse übrig d.h. [mm]\frac{4}{31}[/mm]
1. Karte ist ein Ass, 2. auch:
1. Zug ---> 3 Asse übrig d.h. [mm]\frac{3}{31}[/mm]
Warum muss ich bei den anderen Aufgaben zuvor nicht die einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten multiplizieren (z.B. wie es bei einem Baumdiagramm wäre)?
Wo liegt bei diesem Aufgabenteil der Unterschied bzw. wie erkenne ich ihn? :)
Bedingte Wahrscheinlichkeit hatten wir bisher nur als lockeren Begriff und weniger in Formeln oder Rechenregeln.
Dankeschön :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Warum kann ich bei dieser Aufgabe nicht, wie bei den
> vorherigen einfach
Ich hab in meiner ersten Antwort mindestens dreimal geschrieben, daß es einen Unterschied gibt zwischen "1. und 2. Karte ist ein Ass" und "2. Karte ist ein Ass, wenn die erste ein Ass war" =)
Quote:
Das ist wie auch schon eben erklärt P("1. Karte ist Ass")*P("2. Karte ist Ass, gegeben daß die erste ein Ass war")=P("1. und 2. ist Ass")
gefragt ist aber
P("2. Karte ist Ass, gegeben daß die erste ein Ass war")
Nochmal: $ [mm] A\cap [/mm] B $ = "A und B"
$ B|A $ = " B gegeben A"
Beim einen fragen wir uns, bevor wir die erste ziehen, was die Wkeit ist, daß A und B eintreten. Beim anderen haben wir die erste gezogen, A ist eingetreten, und wir wollen jetzt wissen, was die Wkeit ist, daß B eintritt.
Die Beziehung ist
$ [mm] P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\quad \Leftrightarrow\quad P(B|A)\cdot{}P(A) [/mm] = [mm] P(B\cap [/mm] A) $
> Warum muss ich bei den anderen Aufgaben zuvor nicht die
> einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten multiplizieren (z.B. wie
> es bei einem Baumdiagramm wäre)?
Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel: Münzwürfe.
Ich hoffe Du siehst, daß es einen Unterschied gibt zwischen "Wkeit 2. Wurf ist Kopf, wenn der erste Kopf war" (Antwort: 1/2, weil der erste Wurf keinerlei Einfluß auf den zweiten hat, also macht es keinen Unterschied, was er war. Die Wkeit ist also die gleiche wie die von "2. Wurf ist Kopf") und "Wkeit 1. und 2. Wurf ist Kopf" (Antwort: 1/4, weil beide Kopf sein müssen)
> Wo liegt bei diesem Aufgabenteil der Unterschied bzw. wie
> erkenne ich ihn? :)
Beim einen wollen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, unter der Bedingung, daß ein anderes eingetreten ist, beim anderen wollen wir die Wahrscheinlichkeit, daß eine Reihe von Ereignissen zusammen eintreten.
Bei "2. Ass, wenn 1. Ass war" hab ich die erste Karte schon gezogen -evtl. nur hypothetisch-, ich weiß was sie ist und will wissen, wie das den zweiten Zug beeinflußt. Bei "1. und 2. Ass" hab ich noch nix gezogen sondern will die Wkeit von dieser Abfolge von Zügen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Alyana |
Vielen Dank :)
Ist manchmal etwas schwer mit mir ;)
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